Des différences remarquables
Aucune droite parallèle
Puisque deux grands cercles (des droites sur la sphère) distincts se coupent nécessairement en deux points, il n'y a pas de droites parallèles sur la sphère!
Des triangles sphériques rectangles
Un triangle sphérique rectangle possède un angle droit. Dans le plan, comme la somme des angles d'un triangle égale , il ne peut y avoir qu'un seul angle droit dans un triangle.
Ce n'est pas le cas sur la sphère (voir l'appliquette ci-dessous), car on peut avoir un triangle rectangle avec deux angles droits et même... trois angles droits!
Mais il faut pour cela que la somme des angles d'un triangle sphérique soit supérieure à . C'est ce que nous montrerons sous peu.