Nulpunkter i polynomier (Rødder)
Algebraens fundamentalsætning
Det lyder stort, "fundamentalsætning", i matematik, hvor det hele udtrykkes i sætninger som bevises. Det er faktisk også lige stort nok til gymnasiet, for vi har ikke reelle løsninger som fuldstændiggør denne sætning. Vi bringer den dog alligevel (mens vi venter på de komplekse tal):
Et polynomium har lige så mange rødder som dets grad angiverMed rødder menes værdier af den uafhængige variabel, x, som giver et nul-output. Eksempel: Polynomiet er af anden grad. Det har derfor 2 rødder. Vi kan faktorisere p og får , hvor nulreglen tilsiger, at produktet er nul i begge de tilfælde, hvor en faktor er nul. Det vil sige for .
Polynomiers division (*)
Hvis du kan dele et funktionsudtryk (fx et polynomium) op i faktorer, kan du finde rødder ved nulreglen, da blot en af faktorerne skal være nul for at det samlede produkt er nul. En måde at finde sådanne faktorer på er at gætte på et polynomium af lavere grad og så dividere det oprindelige polynomium med dit gæt.
Her kan du se den indledende video, som Sal Khan har lavet om at dividere polynomier. Der er en opfølger, en nummer to, som også kan være relevant at se. Bemærk, at videoerne er indtalt på engelsk.
Her kan du se den indledende video, som Sal Khan har lavet om at dividere polynomier. Der er en opfølger, en nummer to, som også kan være relevant at se. Bemærk, at videoerne er indtalt på engelsk.Opgave: Find rødder ved at faktorisere polynomier
(a) Opløs polynomiet i faktorer og , så du altså kan opskrive produktfunktionen .
(b) Tegn grafer for de tre funktioner i samme koordinatsystem (udnyt GeoGebra ved først at navngive og plotte de to faktorer og først derefter indtaste produktfunktionen som
(c) Find nulpunkter i ved hjælp af og . Udpeg nulpunkterne ved at skrive i grafen: "Nulpunkt for ", "Nulpunkt for " og "Nulpunkter for ".
Opgave A med faktorisering af andengradspolynomium
Svar på opgave A
Hvordan kan du omskrive andengradspolynomiet i opgaven herover til et produkt af to faktorer (faktorfunktioner)?
Opgave B: Nulpunkter i (faktorisering af) fjerdegradspolynomium
Betragt fjerdegradspolynomiet .
(a) Undersøg, om går op i . Redegør for din fremgangsmåde.
(b) Undersøg, om går op i p.
(c) Undersøg, om går op i p.
(d) Undersøg, om går op i p.
(e) Tegn grafer for de fire faktorfunktioner (førstegradspolynomier) og for produktfunktionen (fjerdegradspolynomiet , alle fem i samme koordinatsystem.
(f) Find nulpunkter (dvs. rødder) i og redegør for hvordan du analytisk kan bestemme disse rødder.
(g) Søg bekræftelse/afkræftelse af korrektheden af dine beregninger i grafen for
og redegør for sammenligningen mellem analytisk og grafisk løsning