Seno de la suma a partir del teorma del seno
Ésta demostración es más sencilla y general que la que suele aparecer en los libros de texto, utilizando la circunferencia goniométrica. Se aplica siempre que sumandos y suma sean menores que 180º (mover el vértice C para que el triángulo sea obtusángulo en A, B ó C). La otra demostración solo es válida sin importantes modificaciones si los sumandos y la suma son menores que 90º.
Desplaza el vértice C de manera que su altura quede fuera del lado c, para ver que la demostración también es válida en ese caso.
Para el seno de la diferencia, utilizando que para ángulos opuestos los senos son opuestos, tenemos que:
sen(α - β) = sen(α + (-β)) = sen(α)cos(-β) + cos(α)sen(-β)
= sen(α)cos(β) - cos(α)sen(β)
Para el coseno de la suma, utlizando que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario:
cos(α + β) = sen(π/2 - (α + β)) = sen((π/2 - α) - β) = sen(π/2 - α)cos(β) - cos(π/2 - α)sen(β)
= cos(α)cos(β) - sen(α)sen(β)
Y para el coseno de la diferencia:
cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos(α)cos(-β) - sen(α)sen(-β)
= cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)