Gli assi di un triangolo: inscrivibilità di tutti i triangoli
Dimostriamo in questo paragrafo che qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza.
Un triangolo di dice inscritto in una circonferenza se i suoi tre vertici appartengono ad essa.
![Il triangolo [math]DEF[/math] è inscritto nella circonferenza [math]c[/math] dato che i suoi tre vertici giacciono su di essa.](https://www.geogebra.org/resource/jsduxwh7/Rum1ycoP3CizAhSV/material-jsduxwh7.png)
Per dimostrare questa proprietà ci rifacciamo al luogo geometrico costituito dall'asse di un segmento, in particolare ci riferiremo agli assi del triangolo considerato.
Gli assi di un triangolo sono gli assi dei suoi tre lati.
Se devi ripassare cosa è un asse di un segmento o le sue proprietà, puoi andare qui.
A questo punto viene la dimostrazione, che è in due passi:
- prima scegliamo due assi e dimostriamo che loro si incontrano. Sembra banale ed in effetti è semplice da dimostrare, ma in geometria MAI DARE NIENTE PER SOTTINTESO - e soprattutto anche le cose più semplici vanno spiegate in modo assolutamente rigoroso.
- Poi vediamo che il punto in cui si incontrano i primi due assi è EQUIDISTANTE DA TUTTI E TRE I VERTICI DEL TRIANGOLO o, in altre parole, la distanza dei tre vertici dal punto di incontro degli assi è la stessa per tutti e tre: possiamo quindi usarlo come centro di una circonferenza che passa per i tre vertici: la distanza diventa il raggio della circonferenza.
NOTA: nella prima parte della dimostrazione gli assi subito non sono disegnati per intero perché si vuole sottolineare che NON POSSO DIRE CHE GLI ASSI SI INCONTRANO SOLO PERCHÈ "SI VEDE" SUL DISEGNO: potrebbe essere che succede solo per il triangolo particolare che ho disegnato. Per essere sicuro che si incontrano in QUALSIASI triangolo devo prima DIMOSTRARLO con un ragionamento logico.
NOTA 2: utilizzando il teorema inverso sull'asse di un segmento (seconda parte di questa pagina), cioè quello che dimostra che un punto equidistante dai vertici di un segmento appartiene necessariamente all'asse di quel segmento, possiamo concludere che il punto P, essendo equidistante da B e da C, appartiene anche all'asse del segmento , dimostrando così che i tre assi di un triangolo si incontrano sempre tutti in un punto, che è appunto il circoncentro.