Lieriö
OpetusTVLauri
Kolmiulotteiset peruskappaleet ovat lieriö, kartio ja pallo.
Alla on kuva kahdesta eri lieriöstä.
Tekniikassa lieriötä kutsutaan eri nimillä tietyissä erikoistapauksissa eli
- lieriö, sylinteri viittaavat pyöreäpohjaisiin lieriöihin, ja
- prisma, särmiö viittaavat monikulmiopohjaisiin lieriöihin
Lieriö muodostuu, kun kaksi samanlaista ja samansuuntaista suljettua tasokäyrää yhdistetään kaikista vastinpisteistään samansuuntaisilla suorilla.Lieriötä kutsutaan suoraksi ympyräpohjaiseksi lieriöksi, jos sen pohjat ovat ympyröitä ja pohjien keskipisteet yhdistävä suora on suorassa kulmassa pohjia vastaan (symmetriasuora). Lieriötä kutsutaan vastaavasti säännölliseksi lieriöksi, jos sen pohjat ovat monikulmioita ja pohjien keskipisteet yhdistävä suora on suorassa kulmassa pohjia vastaan (symmetriasuora). Kaikkien lieriöiden tilavuus saadaan samalla peruskaavalla , missä A on pohjan pinta-ala ja h on lieriön kohtisuorakorkeus.
Esimerkki 1.
Luokan pöydältä löytyi teräsputki, jonka poikkileikkaus on neliö. Poikkileikkauksen ulkomitta on 3 cm, josta teräksen paksuus on 1 mm jokaisella sivulla. Laske putken paino, jos putkea on 40 cm.
Putki on lieriön muotoinen, jossa sisäosa on tyhjä. Poikkileikkauksen pinta-ala saadaan ulkomitan antaman pinta-alan ja tyhjän sisäosan erotuksena.
Tämän jälkeen tilavuus saadaan suoraan peruskaavan perusteella eli
Teräksen tiheys on 7850 kg/m3. Tällöin putken massa voidaan laskea peruskaavalla
Koska annettu tiheys on eri yksikössä kuin laskettu pinta-ala muutetaan tiheys kuutiosenttimetreille:
Putken painoksi saadaan siis
Esimerkki 2.
Mille korkeudelle lamppu sijoitettava katon keskipisteeseen, jotta sen maksimietäisyys huoneen nurkasta on 4.5 metriä?
Ratkaisu.
Käyttämällä Pythagoraan lausetta avaruudessa voidaan muodostaa toisen asteen epäyhtälö:
Lampun voi siis sijoittaa korkeintaan 2.7 metrin korkeuteen.
Esimerkki 3. Reiän tilavuus
Lasketaan palkkiin poratun reiän tilavuus.
Lieriön tilavuutta laskiessa tarvitaan korkeutta kohtisuorassa olevan poikkileikkauksen pinta-ala. Vaikka nyt tiedämme, että reikä on tehty ympyrän muotoisella poran terällä, niin ympyrä ei ole kohtisuorassa palkin korkeutta vaan reiän pituutta vasten. Tämän takia reikä on ajateltava osissa.
Koko reiän pituus on annettujen tietojen perusteella
Reiän tilavuus on on suoran lieriön ja päätyjen summa. Päädyt yhdessä muodostavat yhden suoran ympyrälieriön, jonka korkeus on y.
Koska y olisi vähennetty suoran ympyrälieriön tilavuudesta mutta lisätty päätyjen tilavuuden yhteydessä, niin tilavuus saadaan peruskaavalla eli