0901 Háromszög parketta
Miután mindhárom szögének az ismeretében egyértelműen meg tudjuk adni a háromszöget, tegyük fel azt általános kérdést, hogy melyek azok a háromszögek, amelyek alkalmasak arra, hogy egybevágó példányaikkal hézagmentesen és egyrétegűen lefedjük a H-síkot.
Olyan lefedésre gondolunk, ahol a szomszédos háromszögek tengelyesen szimmetrikusak a közös élre.
Olvasóinkra bízzuk azoknak a webhelyeknek és alkotásoknak a felkutatását, amelyeket Escher művei inspiráltak, mi inkább azzal foglalkozunk, hogy milyen geometriai konstrukciók inspirálták Eschert.
Például az alábbi:
![[size=100][i]A Hiperbolikus sík egy lehetséges lefedése egybevágó háromszögekkel a P-modellen[/i][/size]](https://www.geogebra.org/resource/Mx2Yfpz9/YbKbyvTyvl8dUDoq/material-Mx2Yfpz9.png)
Arra kevés esélyünk van, hogy a H-sík teljes lefedéséhez szükséges végtelen sok háromszögből ilyen sokat megjelenítsünk a mi P-modellünkön, de arra adott a lehetőségünk, hogy lefedésre alkalmas háromszögeket keressünk.
A hézagmentes lefedésre alkalmas H-háromszögek
Nyilvánvalóan azok a háromszögek lesznek alkalmasak a H-sík hézagmentes lefedésére, amelyek szögeinek az összege kisebb az egyenesszögnél, másrészt amely szögeknek az egész számú többszöröseként pontosan megkapjuk a teljes szöget. ( A fenti rajz minden háromszögének van egy 90°-os, egy 60°-os és egy 360°/14 ≈ 26°-os szöge. (Mint hamarosan látni fogjuk, ez a legkisebb lefedésre alkalmas háromszög).
Az önálló felfedezés örömére hivatkozva reméljük nem kell részleteznünk, melyik csúszkának és jelölőnégyzetnek mi a funkciója. A kísérletezést, a program alapos megismerését ugyancsak olvasóinkra bízzuk.
Annyit azonban szeretnénk megjegyezni, hogy a csúszkákkal előállítható szögek csökkenő nagyságrendben szerepelnek. A legkisebb így előállítható szög 20°-os, ezt követően csak a 0°-os (aszimptotikus) háromszögek előállításra alkalmasak a csúszkák.
Elemzés
A fenti applet alapos elemzése, kipróbálása olvasóink számára bizonyára több következtetés levonására ad lehetőséget. Ehhez próbálunk némi segítséget nyújtani.
- Az egymással egybevágó éleket azonos színű szakaszok jelzik. Ha az alapháromszög általános (mindhárom szöge különböző), akkor bármelyik két szín láthatóságát kikapcsolva a megmaradt azonos színű élek a H-sík egy-egy szabályos sokszöggel történő lefedését mutatják be. Ha a három különböző méretű (színű) élek közül egy színt iktatunk ki, akkor deltoidokból álló lefedést láthatunk magunk előtt. Ha az alapháromszög egyenlő szárú, akkor a szárakat láthatatlanná téve szabályos sokszögekből, ha az alapokat nem látjuk, egybevágó „rombuszokból” álló lefedést állítottunk elő.
- Láthatóvá tudjuk tenni a háromszögek beírt köreit, ill. ezek középpontjait. A beirt körök középpontjait összekötő szakaszok szintén szabályos sokszögeket alkotnak. Ha csak ezek láthatóságát kapcsoljuk be, akkor általános alapháromszög esetén három, egyenlő szárú háromszög esetén két különböző szabályos sokszögből felépített lefedést láthatunk. A legnagyobb szögű szabályos háromszög, amellyel hézagmentesen lefedhető a H-sík az, amelynek egy szöge a teljes szög 1/7-ed része. Így annak a szabályos sokszögnek, amellyel lefedhető a hiperbolikus sík úgy, hogy minden csúcsába három él fusson be, legalább hétszögnek kell lennie. Belátható hogy a H-síknak létezik szabályos 8, 9, 10,... akárhány oldalú szabályos sokszöggel történő lefedése is, ahol minden csúcs legalább (így nevezzük:) három fokszámú. Ugyanakkor pl. bármely négyzet parketta csúcsainak a fokszáma legalább 5.
- Úgy hisszük, olvasóink belátták, végtelen sok olyan háromszög létezik, amely alkalmas a H-sík hézagmentes lefedésére. Olvasóinkra bízzuk annak az összeszámolását, hogy ezek közül hány lefedést szemléltet a fenti program. Ezek közül kiemelkedően fontos az a lefedés, amelynek mindhárom szöge 0 fokos, azaz csúcsai végtelen távoli pontok. Ez ugyanis azt szemlélteti, hogy a hiperbolikus síkon van legnagyobb területű háromszög. Ezzel együtt a H-sík területe nem korlátos, épp úgy, mint az euklideszi síké sem. Könnyű végiggondolni, hogy az egybevágó gömb-háromszögekkel lefedett gömb területe viszont véges. Itt említjük meg, hogy az euklideszi párhuzamossági axióma ekvivalens átfogalmazásai között szerepel Bolyai Farkasnak (János édesapjának) a megfogalmazása, amely szerint az euklideszi geometriában bármely háromszögnél van nagyobb területű.
- Felhívjuk még olvasóink figyelmét a fenti applet függőleges csúszkájára. Ezzel szabályozható, hogy az első háromszög milyen speciális pontja kerüljön az alapkör középpontjába, vagy legyen teljesen általános helyzetű, mozgatható, amelyet az 1. Δ beírt körének a középpontját mozgatva érhetünk el: ↶∙↷ Az, hogy a megjelenített rajz mozgatható, csak a látvány - de nem a háromszögrács - átformálásán túl arra is bizonyíték, hogy a hiperbolikus sík mindenütt homogén épp úgy mint az euklideszi. Az alapkör középpontjának csak a szerkesztések (és számolási feladataink) során jutott kitüntetett szerep. Így ez csak a modellnek, és nem a hiperbolikus síknak a sajátossága.
A fenti, sokféle háromszög-parkettát előállító appletet kiegészítettük néhány további funkcióval, és alkalmazással.
A könnyebb kezelhetőség érdekében ezeket a kiegészítéseket külön-külön munkalapokon tárjuk olvasóink elé.