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Mosaicos regulares y semirregulares

Autor:Rafael Losada Liste
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Isometrías. Una exposición desde el punto de vista algebraico (matricial), puede verse en el libro Cambio de sistema de referencia. Triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares son los únicos polígonos regulares que nos permiten rellenar el plano: por eso los habrás visto muchas veces recubriendo suelos o paredes. Llamamos teselados o mosaicos regulares a los formados por polígonos regulares iguales:
Observa que para diferenciar bien los polígonos a veces necesitamos solo 2 colores, pero en el ejemplo de la imagen tuvimos que añadir un tercer tono para distinguir los hexágonos.
Pero esas no son las únicas formas de rellenar el plano con polígonos regulares. Podemos hacerlo también combinando polígonos regulares de distintos tipos, como en el siguiente mosaico:

Este tipo de teselados o mosaicos se denominan semirregulares y se forman combinando dos o más tipos de polígonos regulares, distribuidos de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos y colocados en el mismo orden. En cada vértice de ese mosaico tenemos dos triángulos, un cuadrado, un triángulo y otro cuadrado, por eso lo codificamos como 3.3.4.3.4. A este código se le llama símbolo de Schläfli. Ten en cuenta que mientras el anterior mosaico es semirregular, el siguiente mosaico no lo es, pues en este último no todos los vértices tienen la misma distribución de los polígonos (estos mosaicos se llaman demirregulares). Observa que, efectivamente, en el mosaico siguiente tenemos en cada vértice dos triángulos y dos hexágonos, pero no están dispuestos siempre de la misma forma: algunos vértices son 3.3.6.6 y otros son 3.6.3.6.

En la barra de herramientas tienes polígonos regulares de 3 a 12 lados. Cada uno de ellos aparece, además, con ocho colores diferentes. Siguiendo la guía de preguntas, tienes que colocar estos polígonos para ir formando mosaicos. Para dibujar un polígono tienes que señalar dos puntos, que serán los vértices de uno de sus lados. Has de tener en cuenta que según el orden en que señales los puntos hay dos orientaciones posibles, de las cuales una será la deseada y la otra no. Si te equivocas y no resulta la orientación que deseabas, puedes utilizar la flecha de retroceso en la barra de herramientas para corregir, volviendo atrás.

1. Cuando construimos un mosaico vamos colocando polígonos uno a continuación de otro, alrededor de un vértice, hasta rellenar el plano. Si los polígonos tienen que ser todos regulares e iguales, ¿por qué podemos hacerlo solamente con triángulos, cuadrados y hexágonos?

2. ¿Cuál es el símbolo de Schläfli de cada uno de los mosaicos regulares?

3. ¿Podremos construir un mosaico combinando triángulos equiláteros y cuadrados? ¿Se podrá hacer de más de una forma?

4. ¿Y utilizando únicamente cuadrados y hexágonos? ¿Necesitaremos algún polígono más para completar el mosaico?

5. ¿Podemos combinar triángulos y hexágonos únicamente? ¿Habrá más de una forma de hacerlo?

6. Continúa analizando otras combinaciones de polígonos regulares, ¿cuáles podemos utilizar para construir mosaicos semirregulares?

7. Escribe el código que le corresponde a cada uno de los mosaicos que vas obteniendo.

8. ¿Qué criterio nos permite determinar cuándo un polígono regular se puede combinar con otros para formar un mosaico semirregular?

Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste. Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss

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