Comment dédoubler des résultats
La loi des cosinus pour les angles
Soit un triangle sphérique . Appliquons la loi des cosinus au triangle polaire :
car et , comme vous l'aviez démontré à la première étape de la session. Après ajustement des signes, on trouve la loi des cosinus sphérique pour les angles :
Une manufacture à identités
Le triangle polaire étant lui-même un triangle sphérique, les résultats qui s'appliquent à des triangles sphériques s'appliquent évidemment au polaire. Mais les côtés du polaire étant en quelque sorte les angles du triangle d'origine, et vice-versa, les résultats appliqués au polaire produisent de nouveaux résultats dans lesquels les angles et les côtés du triangle d'origine sont inversés. On a donc deux résultats pour le prix d'un!
A + B + C > 180°
Nous avions remarqué que la somme des angles d'un triangle sphérique semble toujours supérieure à . Prouvons-le!
Nous avons montré précédemment que . Ce résultat tient pour le triangle polaire :
d'où, en simplifiant :