Die Normalform
Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform (SF) lässt sich durch Auflösen der Klammer in eine andere Form umschreiben:
Nach dem zweiten "=" haben wir die 2. binomische Formel verwendet.
Im Normalfall werden quadratische Funktionen übrigens nicht in der Scheitelpunktform angegeben, sondern in der Form, wie sie am Ende der obigen Rechnung steht. Deshalb kann man diese Form auch die Normalform (NF) nennen.
Normalform der quadratischen Funktion
Die Normalform der quadratischen Funktion hat die Form:
y = ax2 + bx + c
Bemerkungen:
- Der Faktor a aus der Normalform ist identisch mit dem Streckfaktor a aus der Scheitelpunktform. Um das zu sehen, betrachten Sie noch einmal die obige Rechnung. Es ist kein Zufall, dass der Faktor 3, der zu Beginn vor der Klammer steht, auch im Ergebnis vor dem x2 erscheint.
- Man kann also am Faktor a erkennen, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht ist und ob sie nach oben (a>0) oder unten (a<0) geöffnet ist.
- Wie bei linearen Funktionen ist der konstante Term c der y-Achsenabschnitt. Dieser lässt sich also nur der Normalform direkt entnehmen, nicht der Scheitelpunktform. Im obigen Beispiel schneidet die Parabel bei y = 16 die y-Achse.
Von der Normalform (NF) zur Scheitelpunktform (SF): quadratische Ergänzung
Wie man von der SF zur NF gelangt, zeigt uns die obige Rechnung. Umgekehrt muss man sich der quadratischen Ergänzung bedienen. Um diese zu verstehen, starten wir mit einer Vorübung.
Tragen Sie in der folgenden Tabelle dort, wo links eine 0 steht, jeweils den richtigen Wert so ein, dass sich eine binomische Formel ergibt.
Tagen Sie dann jeweils auf der rechten Seite dort, wo eine 0 steht, den richtigen Wert samt Rechenzeichen + oder - ein, wobei Sie hier bitte Anführungszeichen verwenden, z.B. "+12" eingeben.
Als Ergebnis halten wir fest: Einen Term wie x2 + 12x kann man zu einer binomischen Formel ergänzen, indem man von der 12 die Hälfte nimmt, diese quadriert und dann hinzuaddiert: x2 + 12 + 62 = (x+6)2
Dies verwenden wir nun, um eine quadratische Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuformen:
Beispiel:
f(x) = 4x2 - 24x + 10 (NF) | Faktor a aus den ersten beiden Termen ausklammern
= 4(x2 - 6x ) + 10 | in der Klammer quadratisch ergänzen
= 4(x2 - 6x + 32 - 32 ) + 10 | die ersten drei Terme in der Klammer ergeben eine bin. F.
= 4( (x - 3)2 - 9 ) + 10 | äußere Klammer ausmultiplizieren
= 4(x - 3)2 - 36 + 10
= 4(x - 3)2 - 26 (SF)
Dies ist ein wichtiges Verfahren!
- Wenn f in der NF gegeben ist und man will den Scheitelpunkt von f herausfinden, so formt man f in die SF um, in der man den Scheitelpunkt ja ablesen kann.
- Wenn f in NF gegeben ist und man will den Graphen zeichnen, dann kann man sie auch in die SF umformen, weil dann das Zeichnen ganz leicht wird (siehe letztes Kapitel!).
Aufgaben
1. Schreiben Sie die folgenden quadratischen Funktionen jeweils in die Scheitelpunktform um.
2. Geben Sie dann den Scheitelpunkt an.
3. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie wieder in die Normalform zurück rechnen.
4. Zeichnen Sie jeweils auch den Funktionsgraphen.
a) f(x) = 2x2 + 8x - 1
b) f(x) = -3x2 + 12x + 5
c) f(x) = x2 + 12x
Sie können Ihr Ergebnis überprüfen, indem Sie den Graphen mit Geogebra zeichnen und den Scheitelpunkt ablesen.