0401 A háromszög nevezetes vonalai és pontjai
Az eddig megismert P-modell eszközök lényegében az euklideszi szerkesztés eszközei, valamint az erre visszavezethető szerkesztések. Emiatt a P-modell kiváló lehetőséget nyújt arra is, hogy azokat az abszolút geometriai fogalmakat, összefüggéseket új megvilágításba helyezze, amelyek az általános és középiskolai geometriai ismeretek jelentős részét képezik. Ugyanis a modell alkalmazásával élesen elkülönülnek a párhuzamossági axiómát megelőző, és az abból következő összefüggések.
Megjegyezzük, hogy a matematikai feladatok megfogalmazásában gyakran használt „mutassuk meg” szóhasználat a „bizonyítsuk be” szinonimája. Itt most ezt inkább a „szemléltessük” megfelelőjeként fogjuk használni.
Adjunk meg a csúcsaival egy háromszöget! Szerkesszük meg az oldalait, majd rendre szemléltessük az alábbi összefüggéseket:
- Ha egy háromszög valamely két oldalának a szakaszfelező merőlegesei metszik egymást, akkor erre a metszéspontra illeszkedik a harmadik oldal szakaszfelező merőlegese is. Ez a pont a háromszög köré írt körének a középpontja.
- Az euklideszi párhuzamossági axiómával igazolható, hogy egy háromszög bármely két oldalának a szakaszfelező merőlegese metsző.
- A hiperbolikus geometriában van olyan háromszög, amelynek az oldalfelező merőlegesei nem metszik egymást.
- Mutassuk meg, hogy: a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!
- A hiperbolikus geometriában általában nem teljesül, hogy a súlypont harmadolja a súlyvonalakat. Bár előfordulhat, hogy van olyan súlyvonal, amelyet harmadol a súlypont.
- Mutassuk meg, hogy a H-háromszög belső szögfelezői egy pontra illeszkednek. Ez a pont a háromszög beírt körének a középpontja!
Háromszög nevezetes vonalai és pontjai
Mihez képest?
A fenti demonstráción módosítottunk egy keveset.
A háromszög csúcsait ezúttal nem a P-modell alapköréhez, hanem a képernyőhöz rögzítettük. Így ha az alapkört mozgatjuk,vagy pl. zoomolással növeljük a képernyőhöz mért sugarát, akkor ezzel megváltoztattuk a háromszög csúcsainak a P-modellben elfoglalt helyét. Így tulajdonképpen a P-modell egy másik háromszögét állítottuk elő.
Figyeljük meg, hogy ha a P-modell sugarát növeljük a képernyőhöz képest, a kapott háromszög nevezetes vonalai (amelyekről tudjuk, hogy többnyire körívek) egyre jobban megközelítik az euklideszi geometriából jól ismert ábráinkat. Mi lenne, ha a P-modell alapkörét a képernyőnkhöz képest igen nagyra választanánk?
Azt, hogy az euklideszi geometria a hiperbolikus geometria határesete, itt már említettük. Később majd itt is tapasztalni fogjuk ugyanezt