Eigenschaften einer Funktion: Symmetrie
Mit dem Symmetrieverhalten befassen wir uns in diesem Applet. Dabei wird erklärt, was man unter dem Symmetrieverhalten zu verstehen hat und wie man diese rausfindet.
Spricht man vom Symmetrieverhalten, so sind damit meistens Punktsymmetrie zu Koordinatenursprung und Achsensymmetrie zur Y-Achse gemeint. Diese beiden Themen sehen uns wir uns nun nacheinander an und dabei werden auch entsprechende Beispiele vorgestellt.
1. Punktsymmetrie
Das erste Symmetrieverhalten das wir uns nun ansehen ist die Punktsymmetrie. Beginnen wir erst einmal mit einer kurzen Definition bevor wir uns eine Grafik und Beispiele ansehen. Eine Funktion y = f(x) mit einem symmetrischen Definitionsbereich D heißt ungerade, wenn für jedes x D die Bedingung f(-x) = -f(x) erfüllt ist. In diesem Fall ist die Funktion auch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die folgende Grafik zeigt die Funktion y = x3. Wir nehmen uns nun einen Punkt auf deren Verlauf und spiegeln diesen am Koordinatenursprung (grüner Punkt). Tun wir dies, erhalten wir einen weiteren Punkt, der ebenfalls auf dem Kurvenverlauf liegt.
Eine weitere Grafik zur Darstellung der Punktsymmetrie
Punktsymmetrie berechnen
Wie kann man nun berechnen, ob eine Punktsymmetrie vorliegt oder nicht? Dazu setzen wir f(-x) = -f(x) und sehen ob die Gleichung wahr ist. Damit hätten wir eine ungerade Funktion, welche punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Die folgenden Beispiele werden dies hoffentlich verdeutlichen.
Beispiel 1:
Die Funktion f(x) = x3 soll auf eine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x). Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
f(x) = x³
f(-x) = (-x)³ = -x³
-f(x) = -(x³) = -x³
f(-x) = -f(x)
-x³ = -x³ Punktsymmetrie
Beispiel 2:
Die Funktion f(x) = -3x3 +2x soll aufeine Punktsymmetrie zum Ursprung untersucht werden. Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und -f(x). Danach setzen wir f(-x) = -f(x). Ist die Gleichung korrekt, dann liegt eine Punktsymmetrie vor.
f(x) = -3x³ + 2x
f(-x) = -3(-x)³ +2(-x)
f(-x) = 3x³ -2x
-f(x) = -(-3x³ +2x)
-f(x) = 3x³ -2x
f(-x) = -f(x)
3x³ -2x = 3x³ - 2x Punktsymmetrie
2. Achsensymmetrie
Das zweite Symmetrieverhalten ist die Achsensymmetrie. Die Funktionskurve einer geraden Funktion ist spiegelsymmetrisch zur Y-Achse angeordnet. Dies bedeutet, dass jeder auf der Kurve gelegene Punkt durch Spiegelung an der Y-Achse wieder in einen Kurvenpunkt übergeht. Mathematisch findet man solch eine Funktion wenn gilt: f(-x) = f(x). Aber was bedeutet dies nun? Beginnen wir mit einer einfachen Grafik mit y = x2 bei der an der Y-Achse die Spiegelung durchgeführt wird. Spiegelt man den Punkt auf der rechten Seite, so liegt der gespiegelte Punkt auf der anderen Seite ebenfalls auf der Kurve.
Achsensymmetrie berechnen
Die Achsensymmetrie finden wir heraus, in dem wir f(x) = f(-x) setzen und nachsehen, ob auf beiden Seiten der Gleichung dann der selbe Ausdruck steht. Zum besseren Verständnis rechne ich einmal ein Beispiel vor.
Beispiel 1:
Ist die Funktion f(x) = x2 achsensymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir zunächst f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).
f(x) = x²
f(-x) = (-x)² = x²
f(x) = f(-x)
x² = x² Achsensymmetrie
Beispiel 2:
Ist die Funktion f(x) = x2 + 3 achsensymmetrisch oder nicht? Dazu ermitteln wir wieder f(-x) und im Anschluss setzen wir f(x) = f(-x).
f(x) = x² + 3
f(-x) = (-x)² + 3 = x² +3
f(x) = f(-x)
x² +3 = x² + 3 Achsensymmetrie