Modelando um problema (Questão ENADE - 2014)
Questão (ENADE - 2014)
Uma função diferenciável, 𝑓, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de 0 até 𝑥, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (0,0), (𝑥,0) e (𝑥,𝑦), em que 𝑦=𝑓(𝑥). A equação diferencial que descreve essa situação é
Para responder esta pergunta é preciso saber modelar o problema através de uma equação.
Primeiramente, lembre que a área sob uma curva, nas condições dadas no enunciado (no primeiro quadrante e crescente) pode ser calculada pela integral da função, ou seja, a área é dada por
.
Já a área do triângulo é dado pela metade da base vezes altura, que (como você pode ver pela representação no applet abaixo) é dada por
Destas duas informações e do enunciado do problema, tiramos que
Para tirar a integral precisamos derivar ambos os lados da equação acima em relação a , então
Daí, basta substituir ,
Essa equação diferencial tem como solução , que você pode ver abaixo, satisfaz a condição de que a área abaixo da sua curva é exatamente um quinto da área do triângulo.