Tetszőleges függvény vizsgálata kalkulussal
A beviteli mezőbe írd be a kiválasztott függvény nevét és paramétereit.
Tetszőlegesen választhatsz az alábbi függvények, illetve ezek kompozíciója, vagy tetszőleges függvényművelettel történő összekapcsolásaik közül:
Függvényneve és hozzárendelési szabálya | Jelölések |
lineáris függvény: | x |
abszolútérték-függvény: | abs(x) |
négyzetgyökfüggvény: | sqrt(x) |
köbgyök függvény: | cbrt(x) |
-edik gyök függvény: | Gyökvonás(x,n) |
másodfokú függvény: | x^n |
szinuszfüggvény: | sin(x) |
koszinuszfüggvény: | cos(x) |
tangensfüggvény: | tg(x) |
kotangensfüggvény: | ctg(x) |
exponenciális függvény: | exp(x) |
logaritmusfüggvény: , ha és | log(a,x) |
Vizsgáld meg a függvényedet, lehetőleg minél több szempont szerint.
A vizsgálathoz használhatod a függvény grafikonját. Segítségképpen használhatod a görbe egy mozgatható pontját, illetve a -beli érintőt, továbbá a függvény deriváltjait. Figyeld meg, hogy van-e bármiféle kapcsolat a függvénygörbe, az érintő és a két deriváltfüggvény között. Ha igen, próbáld megfogalmazni, hogy mi az!
1. feladat
Végezd el a függvény vizsgálatát elemi úton!
2. feladat
Válassz egy tetszőleges pontot a függvénygörbén, és kapcsold be az érintőt!
Figyeld meg, hogyan változik az érintő, ha mozgatod a pontod! Az érintő állása, illetve a meredeksége (nem számszerűen) mutat-e kapcsolatot valamelyik elemzési szemponttal?
a) Ha igen, akkor melyikkel?
b) Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
c) Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed
3. feladat
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be az első deriváltat!
3.1. Milyen függvényt kaptál?
4. feladat
A kapott függvény, az érintő és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
4.1. Ha igen, akkor melyik tulajdonsággal?
4.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
4.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e a sejtésed!
5. feladat
Ha szerinted már megvan az összefüggés, kapcsold be a második deriváltat!
5.1. Milyen függvényt kaptál?
6. feladat
A kapott függvény, az érintő, az első derivált és az eredeti függvény valamely tulajdonsága között látsz-e valamilyen összefüggést? (Ahhoz, hogy könnyebben észrevedd, most is mozgasd a pontot!)
6.1. Ha igen, akkor melyikkel?
6.2. Ha nem találtál összefüggést, változtass a paramétereken és próbáld újra!
6.3. Ha megsejtettél egy összefüggést, akkor ellenőrizd, hogy a paraméterek változtatása után is igaz maradt-e!