Symédiane et milieu d'une antiparallèle au côté d'un triangle
La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu
Soit M un point mobile de la médiane (AA') du triangle ABC,
soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui coupe la symédiane de sommet A en M.
L'antiparallèle (DE) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC.
Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’.
(D’E’) est parallèle à (BC). M’, situé sur la médiane [AA’], est le milieu de [D’E’].
Par symétrie réciproque, M est le milieu de [DE].
Le milieu d'une antiparallèle d'un côté est situé sur la symédiane.
Une réciproque
Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC).
Montrons que (AM) est la symédiane passant par A :
En effet, la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC).
La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ).
Par réciprocité polaire, la droite (AM) contient le pôle T' de (BC).
(AM) est la symédiane issue de A.
Descartes et les Mathématiques - Points caractéristiques du triangle