Función Cuadrática.
La función Cuadrática
La función cuadrática se puede escribir como:
donde A, B y C son constantes. A esta representación se le conoce como la forma general de la ecuación cuadrática. Observe que la función es un polinomio de segundo grado. Las raíces de la función cuadrática se determinan cuando es decir que tenemos que resolver,
Esta ecuación tiene dos soluciones la primera solución es , la segunda solución es . Observe que si la solución de la ecuación no es número real. Por el momento decimos que no hay solución o raíces. La gráfica de esta función se le conoce como parábola. El siguiente applet se puede usar para graficar ecuaciones cuadráticas para distintos valores de A, B y C.
Ejercicio 1, Grafique y encuentre las raíces de las siguientes funciones cuadráticas. a) b) c) d) e)
Este applet nos permite graficar diferentes ecuaciones cuadráticas moviendo A, B y C
Soluciones a los ejercicios.
Inciso a):
En este caso tenemos que A=1, B=0, C=2 y y es menor que 0. Por lo tanto no tiene una solución real. No hay raíces reales en la función.
Inciso b):
Este caso es similar al anterior con A=1, B=0, C=-2 y mayor que 0. Las raíces son y .
La figura 1. muestra las dos gráficas de estas funciones. Observe que las gráficas son similares, pero hay un desplazamiento vertical entre ellas. Observe que la gráfica del inciso a) nunca corta al eje x, es decir no tiene una solución en los reales y por ello siempre está por encima del eje x. La gráfica del inciso b) si corta al eje x, lo hace en y .
Inciso c):
En este caso tenemos que A=-1, B=0, C=2 y mayor que 0. Las raíces son y .
Inciso d):
En este caso tenemos que A=-1, B=0, C=-2 y menor que 0, por lo tanto no hay solución real.
La figura 2. muestra las gráficas de las funciones. Observe que las dos gráficas son similares entre sí y con las de la figura 1. Sin embargo ahora las parábolas "abren" hacia abajo. La parábola del inciso c) corta al eje x en y . Mientras que la parábola del inciso d) siempre está por debajo del eje x y no lo corta.
Inciso e)
En este caso tenemos que A=1, B=3, C=-4 y mayor que 0. Las soluciones de la ecuación cuadrática son y . La figura 3 muestra la gráfica de la función, que corta al eje x en y .
Observe que todas las funciones donde A>0, "abren" hacia arriba. Mientras que si A<0, las parábolas, "abren" hacia abajo. Puede usar el applet para comprobar que esto es cierto. Por otra parte si la ecuación cuadrática tiene solución real, entonces la parábola corta al eje x en y .
En este caso tenemos que A=-1, B=0, C=2. En este caso mayor que 0. Las raíces son y .