Quadratrix - dem Kreis und Quadrat auf der Spur
Problemaufriss zum Weiterdenken
Die alten Griechen hatten so ihre Not, sollte doch alles Zahl sein. Diese Philosophie wurde an drei Stellen erschüttert.
1. Die Quadratwurzel konnte nicht als Zahlenverhältnis dargestellt werden.
2. Der Kreisumfang und der Kreisdurchmesser konnte nicht exakt als Zahlverhältnis ausgedrückt werden, man konnte also einen Kreis nicht konstruktiv in ein flächengleiches Quadrat verwandeln und umgekehrt.
3. Ein gegebener Winkel konnte nicht -konstruktiv- in mehr als zwei gleichgroße Winkel geteilt werden.
Das Adjektiv konstruktiv bezieht sich dabei auf die zugelassenen Hilfsmittel, denn man durfte dabei nur Zirkel und Lineal verwenden. Erschwerend kam hinzu, dass ein Lineal wurde nicht zum Messen verwendet werden durfte (sofern das die Lineale dieser Zeit überhaupt konnten), sondern lediglich zum Zeichnen von Geraden (geraden Linien).
Doch die Griechen wären nicht diese Hochkultur gewesen, hätten sie nicht versucht, diese Probleme zu lösen. Bei ihrem Weg zur Problemlösung wurden neue Bereich der Geometrie entwickelt, so führte zum Beispiel das Problem der Winkeldreiteilung zu den Kegelschnitten, die in einem eigenen Buch behandelt werden.
Das Problem der Quadratur des Kreises ist - konstruktiv- nicht lösbar, trotzdem müssen sich fast alle Mathematiker heutzutage mit Hobbymathematikern befassen, weil es diesen Hobbymathematikern immer wieder einfällt, einen BEWEIS gefunden zu haben, dass die Quadratur des Kreises möglich wäre.
Wie man das mit algebraischen Methoden hinbekommt, können Sie in diesem Buch unter im Kapitel Woher kommt das Pi im Abschnitt Vertiefung zur Zahl Pi nachlesen und nacharbeiten.
Leider geht das nicht konstruktiv im Sinne der alten Griechen, aber wenn man kinematisch Kurven erzeugt - also Kurven, die sich aus zusammengesetzten Punktbewegungen erzeugen lassen- dann kann man tatsächlich aus einem Quadrat einen flächengleichen Kreis 'konstruieren'. Leider ist die Konstruktion nur mit einem Einschublineal möglich, das eine kinematische Konstruktion erlaubt.
Eine dieser kinematischen Kurven wird hier nun dargestellt, die Quadratrix des Dinostratos, die auch Trisektrix des Hippias genannt wird.
Quadratrix des Dinostratos: Es wird ein flächengleiches Quadrat aus einem Kreis 'konstruiert'
Trisektrix des Hippias: Hier wird ein Winkel gedrittelt.
Alle diese Konstruktionen entsperechen jedoch nicht der 'klassischen' Konstruktion und sind deshalb auch kein Beweis, dass die oben genannten Problem gelöst sind oder lösbar wären.
Der 14. März wird als internatinaler Pi- Day bezeichnet, weil die amerikanische Datumsnotation 3/14 für diesen Tag ist, was auf die ersten zwei Nachkommastellen von Pi hinweist. (3,14...)
Zum Pi-Day 2017, habe ich mich der Darstellung von Pi gewidmet, bzw. der Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix.
Diese kinematische Betrachtung findet -eher zögerlich- Einzug in die Schulmathematik, in Form von dynamischer Geometriesoftware.
Ein Pionier auf diesem Gebiet, ist Hans-Jürgen Elschenbroich, der in seiner schulaktiven Zeit keine Chance ausgelassen hat, für diese dynamische Betrachtung der Mathematik zu kämpfen, und auch heute noch für diese 'visualisierte Geometrie' -aber auch Analysis- Fortbildungen und Workshops anbietet.
Hippias von Elias (ca. 500 v.u.Z.) muss deshalb als einer der ersten dynamischen Geometer angesehen werden.
Hans - Jürgen Elschenbroich hat durch seinen unermüdlichen Einsatz die dynamische Betrachtung geometrischer Probleme in der Sekundarstufe verankert.
Ein Beispiel von Hans-Jürgen Elschenbroich - passend zum Pi-Day findet sich hier: