Punktemengen beschreiben
Die Beschreibung von geometrische Punktmengen (z.B. Geraden, Ebenen usw.) folgen unterschiedlichen Betrachtungsweisen.
Ich kann angeben, wie die zusammengehörenden Punkte berechnet werden.
Die Punkte X oder der Vektor haben 3-dimensionale Koordinaten X=(x,y,z) bzw.
.
Die Punktmenge einer Ebene beschreibe ich dann z.B. durch 3 Vektoren mittels der Vorschrift , d.h. vom Ursprung gibt einen Punkt O der Ebene vor an den t,s vielfache der Richtungsvektoren und angehängt werden. Jedes Element der Punktmenge lässt sich durch spezielle Werte für t,s beschreiben.
Ich kann aber auch die Eigenschaften dieser Punkte, ausgedrückt durch ihre Koordinaten(gleichung), beschreiben (multipliziere Paramterform mit Normalenvektor):
,
d.h. ein Punkt X=(x,y,z) der die Eigenschaft E erfüllt ist ein Element der beschriebenen Menge.
Betrachte ich Vektoren, , lässt sich die Koordinatengleichung E auch als Skalarprodukt
schreiben. , als Vektor, zeigt vom Ursprung auf den Punkt X der Ebene. Konstruieren wir einen Vektor der Ebene indem wir einen Ebenenpunkt, z.B. O, nehmen und einen Vektor bilden, der in der Ebene liegt, dann haben wir die Normalenform einer Ebene:
oder (n = Normalenvektor, o = Ortsvektor oder Stützvektor). Alle diese Schreibweisen haben je nach Aufgabenstellung ihre spezifische Bedeutung. Sie sollten zwischen den Formen bei Bedarf wechseln können.