Lei dos Senos
Contextualizando
Imagine três cidades. A primeira está localizada no ponto A, a segunda no ponto B e a terceira no ponto C. veja a figura abaixo:
As estradas entre as cidades B e C e A e C já estão pavimentadas, porém falta pavimentar a estrada que liga as cidades A e B. Dessa forma, qual deve ser a extensão, em km, da estrada que liga essas duas cidades?
Para respondermos essa pergunta é necessário ter conhecimento sobre a lei dos senos.
A lei dos senos
Chamamos de lei dos senos a relação obtida entre lados e ângulos do triângulo.
Obs: essa lei pode ser utilizada em qualquer triângulo.
==
observe o triângulo abaixo:
Dessa maneira, a fórmula pode ser escrita através de diferentes igualdades
ou ou até mesmo
Vamos, então resolver a problemática apresentada anteriormente!
Se chamarmos a distância entre as cidades A e B de "x", teremos:
Logo:
> > (cortamos os denominadores)
> > (utilizaremos a regra da radiciação e multiplicaremos o numerador e o denominador
por )
> > km
Assim, a distância entre as cidades A e B é igual a km
Atividades
Vamos resolver algumas atividades!
Questão 1
Na figura abaixo, calcule o valor da medida x.
Solução:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, portanto, o ângulo no vértice C = 180 – (105 + 45) = 30º
Pela lei dos senos tem-se:
> > > x=
Questão 2
Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57° e ACB = 59°. Sabendo que BC mede 30m, calcule, em metros, a distância AB . (Dado: use as aproximações sen(59°) ≈ 0,87 e sen(64°) ≈ 0,90)
Solução:A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, portanto, o ângulo no vértice A = 180 – (57 + 59) = 64ºAplicando a lei dos senos, tem-se:
> > > x ≅ 29 metros