Racine carrée d'un nombre entier

Propriété

Les racines carrées de tous les entiers qui ne sont pas des carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, 36...) ne sont pas des nombres rationnels.

Preuve :

Considérons un nombre dont la racine carrée n'est pas un nombre entier. Supposons que soit un nombre rationnel, c'est à dire qu'il existe une fraction irréductible . et sont donc des nombres entiers qui n'ont pas de diviseurs communs. , nous avons donc Et donc : est donc un multiple de et donc, comme est un nombre entier, un multiple de . est donc un multiple de , nous avons donc est le nombre entier tel que . Nous avons donc et donc . est donc un multiple de et donc, comme est un nombre entier, un multiple de . est donc un multiple de comme . Nous en déduisons donc que n'est pas une fraction irréductible car elle peut être simplifiée par , ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ. ne peut donc pas s'écrire sous forme de fraction, ça n'est pas un nombre rationnel.