Noções e Proposições Primitivas
O que é um axioma?
Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação.
Um sistema axiomático é o conjunto dos axiomas que definem uma determinada teoria e que constituem as verdades mais simples a partir das quais se demonstram os novos resultados dessa teoria. O axioma contém evidência em si próprio e por isso não precisa ser demonstrado.
Axiomas de incidência
Axioma 1- Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à reta.
Axioma 2- Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.
Observação: quando duas retas tem um ponto em comum diz-se que elas se intersectam ou que elas se cortam naquele ponto.
Atividade 1
No applet Geogebra anterior, selecione a opção Reta (janela 3) e crie uma reta que passa pelos pontos B e D. Crie outra reta que passa por D e C. A última reta está no mesmo plano que contém as outras duas?
Proposição 1
Duas retas distintas ou não se intersectam ou se intersectam em um único ponto.
Atividade 2
Quais pares de retas se intersectam? As retas g e h se intersectam?
Prova da Proposição 1
Hipótese: Sejam m e n duas retas distintas.
Tese: m e n não se intersectam ou se intersectam num único ponto.
A intersecção destas duas retas não pode conter dois ou mais pontos, do contrário, pelo axioma 2 (Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém), elas coincidiriam. Logo a intersecção de m e n ou contém apenas um ponto ou é vazia.
Atividade 3
Entendeu a prova? Consegue explicar de outra maneira? Caso não tenha entendido, escreva o que não entendeu.
Axioma 3
Dados três pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.
Definição 1: Segmento
O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado segmento AB. Os pontos A e B são chamados de extremos do segmento.
Atividade 4
Na construção anterior, selecione a ferramenta Segmento (janela 3) e crie os segmento BC, CE e AC. Caso tenha dificuldades, escreva aqui.
Definição 2: Semirreta
Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituídos pelos pontos do segmento AB e por todos os pontos C tais que B encontra-se entre A e C é chamado semirreta de origem A contendo o ponto B.
Observação 1
Nos livros tradicionais, em geral, a semirreta é representada apenas com uma "Flecha"
Observação 2
Observe que dois pontos A e B determinam duas semirretas: SAB e SBA.
Axioma 4
Dados dois pontos A e B de uma reta. Sempre existem: um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.
Ilustração
Observação 3
Uma consequência deste axioma é que, entre quaisquer dois pontos de uma reta, existe uma infinidade de pontos.
Definição 3: Semiplano
Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence a m. O conjunto constituídos pelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B estão em um mesmo lado da reta m é chamado de semiplano determinado por m contendo A.
Movimente o ponto A e veja os semiplanos
Axioma 5
Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja intersecção é a reta m.