Teorema del seno y del coseno
Introducción
El teorema del seno y el teorema del coseno son dos resultados que establecen las relaciones entre los ángulos interiores de cualquier triángulo con el seno y coseno de los lados opuestos a los ángulos. Su aplicación permite conocer los ángulos o los lados del triángulo sin conocerlos todos. A continuación, enunciamos ambos teoremas y daremos un ejemplo de aplicación.
1. Teorema del seno
Sea un triángulo cualquiera con lados , y y con ángulos interiores opuestos , y , respectivamente, entonces
Además, si el triángulo está inscrito en una circunferencia de diámetro D,
Enlace: Problemas de aplicación del Teorema del seno
Además, si el triángulo está inscrito en una circunferencia de diámetro D,
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2. Teorema del coseno
Dado el triángulo del resultado anterior, el teorema del coseno establece que
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Enlace: Problemas de aplicación del Teorema del seno3. Ejemplos de aplicación
Problema 1
Calcular el ángulo del siguiente triángulo de lados , y :
Solución:
Aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:
Sólo tenemos que sustituir los datos y aislar el ángulo :
Problema 2
Calcular el radio y el diámetro de la circunferencia en la que está inscrita el siguiente triángulo del que sólo se conoce el ángulo :
Solución:
El teorema del seno proporciona el diámetro D:
Conociendo ángulo y su lado opuesto, , podemos calcular el diámetro:
Sustituimos los datos:
Luego el diámetro mide
Solución:
Aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:
Sólo tenemos que sustituir los datos y aislar el ángulo :
Problema 2
Calcular el radio y el diámetro de la circunferencia en la que está inscrita el siguiente triángulo del que sólo se conoce el ángulo :
Solución:
El teorema del seno proporciona el diámetro D:
Conociendo ángulo y su lado opuesto, , podemos calcular el diámetro:
Sustituimos los datos:
Luego el diámetro mide