Konstruktion der Seitenmitten mit dem Inkreis - mit Beweis
Diese schöne Konstruktion zeigt, wie du mit Hilfe des Inkreises die Seiten eines Dreiecks halbieren kannst. Für den hier vorgestellten Beweis musst du die Strahlensätze sowie die Eigenschaften von Parallelogrammen kennen.
Der Beweis enthält jedoch eine Lücke. Für den vollständigen Beweis benötigtst du den Umfangswinkelsatz und seine Umkehrung. Du findest die zugehörigen Links in der Beschreibung unterhalb der Animation.
Aufgabe:
Die drei Berührpunkte des Inkreises mit den Seiten eines Dreiecks lieferern drei Geraden. Schneidet man zwei dieser Geraden mit der Parallen zur anderen Geraden durch einen gemeinsamen Dreieckspunkt so liefern die Schnittunkte eine Strecke, welche die Dreiecksseiten in der Mitte schneidet.
Übertrage diese Konstruktion in dein Heft und kontrolliere die Behauptung durch Nachmessen.
Beweise die Behauptung.
Der obige Beweis ist nicht vollständig.
Beim Einsatz der Strahlensätze muss man überprüfen, ob das Geradenpaar tatsächlich parallel ist. In einem Fall ist das beim obigen Beweis nicht offensichtlich.
Der nachfolgend vorgestellte Nachweis der Parallelität richtet sich an leistungsstarke SchülerInnen. Er verläuft in zwei Teilen:
- Wir zeigen, dass die Winkelhalbierende durch den Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden verläuft.
- Anschließend weisen wir die Parallelität der (roten) Geraden zur Dreiecksseite a nach.