La pendiente de una carretera - Proyecto Gauss
Cuando viajas por una carretera de montaña y te encuentras con fuertes pendientes seguramente habrás visto alguna vez señales parecidas a las siguientes:
El Reglamento General de Circulación, en sus artículos P-16a y P-16b nos dice que el significado de esas señales es una «subida (o, en su caso, bajada) con fuerte pendiente. Peligro por la existencia de un tramo de vía con fuerte pendiente ascendente (o, en su caso, descendente). La cifra indica la pendiente en porcentaje».
Pero, ¿qué significa ese porcentaje? Es una forma de expresar la relación entre la altura que salvamos cuando ascendemos por la carretera y la distancia que nos desplazamos horizontalmente. Matemáticamente esa relación es la tangente del ángulo que forma la carretera con la horizontal. Así, una pendiente del 10% significa que salvamos 10 metros de desnivel por cada 100 metros de avance en horizontal:
Normalmente los vehículos que utilizamos disponen de instrumentos que nos permiten medir las distancias que recorremos: los cuentakilómetros. También es relativamente fácil disponer de un altímetro con el que poder medir las alturas. Sin embargo no tenemos ningún instrumento que nos permita conocer directamente cuanto avanzamos según la horizontal, aunque dicha longitud sí que podría calcularse a partir de las anteriores.
Dado que la altura que ascendemos al subir una rampa y la distancia recorrida son datos sencillos de calcular, ¿qué ocurre si tomamos como valor aproximado de la pendiente la razón entre esos dos datos? ¿Es muy grande el error que comentemos? La razón entre la altura que ascendemos y la distancia que recorremos por la rampa es el seno del ángulo que forma la rampa con la horizontal. Lo que estamos planteando es, por tanto, ¿qué error cometemos cuando utilizamos el seno y no la tangente para calcular la pendiente de una carretera? Vamos a investigarlo.
En la aplicación la señal de tráfico de la izquierda nos muestra el valor correcto de la pendiente y la señal de la derecha nos muestra su valor aproximado, cuando la calculamos con el seno. Con el deslizador puedes variar el ángulo B de inclinación de la rampa, por la que puedes desplazar el ciclista, moviendo el punto amarillo. En la hoja de cálculo tienes los datos relativos al desplazamiento del ciclista por la rampa.
PREGUNTAS
1. Con el cuentakilómetros podemos conocer la distancia que recorremos cuando ascendemos por la rampa y con el altímetro la altura que nos elevamos. No podemos medir directamente nuestro desplazamiento en horizontal, pero, ¿cómo podemos calcular esa distancia horizontal a partir de los otros dos datos? ¿Qué relación matemática liga a nuestro desplazamiento por la rampa, la altura que salvamos y el desplazamiento en horizontal?
2. Investiga qué ocurre cuando tomamos el seno como valor aproximado de la tangente para expresar la pendiente de una carretera. Completa la siguiente tabla (añade las filas que consideres necesarias):
3. ¿A partir de qué ángulo la diferencia entre el valor correcto de la pendiente y el valor aproximado (tomando el seno) es superior al 1%? ¿Y al 5%?
4. La mayoría de las carreteras por las que circulamos tienen unas pendientes moderadas, que raramente superan el 10%. En tales circunstancias, ¿consideras adecuado utilizar el seno para obtener un valor aproximado de la pendiente?
5. Claro que en algunos puertos de montaña esas pendientes son mucho más elevadas. Uno de los puertos más duros a los que se enfrentan los ciclistas es El Angliru. El puerto comienza en La Vega (Riosa), a 305 m sobre el nivel del mar y tiene una longitud de 12,5 km y una pendiente media del 10,5%. ¿Cuál es el desnivel que salva el puerto? ¿Qué error cometemos al hacer el cálculo a partir del seno?
6. La rampa más dura del Angliru, conocida como La cueña les cabres, tiene una pendiente del 23,6% y una longitud de unos 300 metros. ¿Qué desnivel se supera en esa rampa? Si hacemos el cálculo de la pendiente a partir del seno, ¿qué error estamos cometiendo?
7. Otro puerto mítico en el ciclismo es El Galibier, situado en los Alpes Franceses. A lo largo de los últimos cien años se han escrito allí algunas de las páginas más gloriosas del ciclismo. Por una de sus vertientes la ascensión comienza en Le Monêtier-Les-Bains, que está a 1470 m sobre el nivel del mar, y se alcanzan los 2645 m del Galibier después de recorrer 22,5 km. ¿Cuál es su pendiente media? ¿Qué error cometemos al calcular esa pendiente media a partir del seno del ángulo?
8. Hemos subido con el coche una cuesta muy pronunciada. Después de 250 metros de marcha hemos salvado un desnivel de 85 metros. ¿Cuál es la pendiente de esa carretera? ¿Resultaría adecuado en este caso tomar como pendiente de la carretera el valor del seno?