Newtonverfahren zur Renditeberechnung periodischer Zahlungen
Differentialrechnung - Newtonverfahren zur Renditeberechnung bei periodischen Zahlungen
Problembeschreibung:
Bei periodisch (hier jährlich) konstanten Zahlungen (Raten bzw. Renten) am Ende des Jahres (nachschüssig) mit gegebenem Endwert (Rentenendwert) über einen Zeitraum von Jahren ist der Zinssatz p gesucht.
Beispiele:
a) Du hast einen Aktien-Investmentfond eingerichtet. In diesen zahlt dein Arbeitgeber vermögenswirksame Leistungen ein. Außerdem kommen Leistungen des Staates hinzu, der das VL-Sparen fördert. Am Ender der Laufzeit steht Dir damit ein ansehnlicher Betrag zur freien Verfügung, der jedoch in seiner Höhe von den Aktienkursen bei der Einzahlung als auch bei der Auszahlung abhängt. Du hast jedoch ein Problem bei der Auswahl des Fonds. Info-Prospekte versprechen dir auf Grund vergangener Phasen einen schönen runden Auszahlungsbetrag. Einziger Vergleichsmaßstab ist jedoch, wie gut die Fondsmanager wirklich gearbeitet haben, d.h. mit welcher Rendite (Effektivverzinsung) p wurden die Einzahlungen bisher angelegt?
b) Eine Bank verspricht dir beim Ratensparen neben den periodischen Einzahlungen zusätzlich Bonuszahlungen während der Laufzeit und am Ende der Laufzeit wiederum einen schön aussehenden runden Betrag. Einziger Vergleichsmaßstab ist jedoch, wie gut die Banken die Einzahlungen verzinsen, d.h. mit welcher Rendite (Effektivverzinsung) p werden die Einzahlungen wirklich angelegt?
Worin besteht aber nun das Problem?
Nun sagst du, dass es dafür Formeln geben muss. Richtig. Schaue ins Arbeitsblatt, da gibt es eine Rentenformel für jährlich, nachschüssige Zahlungen. Versuche diese nach q, dem Verzinsungsfaktor, umzustellen. Für n>4 habe ich das noch nicht geschafft. Schaffst du es?
Solange du die analytische Lösung hierfür noch nicht gefunden hast, kannst du wenigstens die Lösung mit einem Iterationsverfahren näherungsweise berechnen. Das Newtonsche Näherungsverfahren ist hierbei recht hilfreich.
Ziele:
In diesem interaktiven Arbeitsblatt lernst du das Newtonsche Näherungsverfahren näher kennen. Es lässt sich gut mit der analytischen Tangentengleichung erklären, wobei die Tangente in einem Punkt des Graphen einer Funktion f(x) mittels der ersten Ableitung dieser Funktion in diesem Punkt bestimmt werden kann.
Da du aus der Rentenformel die Funktion und deren erste Ableitung bestimmen kannst, dürfte nun die näherungsweise Berechnung der Rendite (Effektivzinssatz) für dich kein Problem mehr sein.