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moltiplicazione e roto-omotetie

Moltiplicazione A∙B con A e B entrambi punti del piano cartesiano. A∙B è il punto realizzato nel sistema di riferimento ( 0 , B , B⊥ ) con le coordinate che A ha nel sistema di riferimento ( 0 , 1 , i ), ossia con A_x e A_y . Vedi ▶ http://tinyurl.com/moltiplicazione In questa figura è il punto A a variare; e il punto B, che è fisso, stabilisce la rotazione e l'ingrandimento/rimpicciolimento.
Costruire BA o AB dà luogo allo stesso punto (proprietà commutativa della moltiplicazione tra punti): A = p*1 + q*i = (p,q) ---> A⊥= (-q,p) = -q+pi B=r*1+s*i=(r,s) ---> B⊥=(-s,r)=-s+ri AB = p*B + q*B⊥ = p(r+si) + q(-s+ri) BA = r*A+s*A⊥ = r(p+qi) + s(-q+pi) - --> AB=BA
roto-omotetie in C
  • roto-omotetia di rapporto w: è l' omotetia in C già considerata nella fase precedente; poniamo la definizione: Rw : z z•w, ossia Rw(z) := z•w. Rw è anche detta roto-omotetia di fattore w  
  • la roto-omotetia Rw : C C estende da R a C la parametrizzazione Lw : R R•w  
  • Quando w=x è reale si ha: Rx(z)=z•x=x•z=Hx(z). Le roto-omotetie generalizzano le omotetie (in quanto diventano omotetie se il fattore è reale)  
  • proprietà delle roto-omotetie:
  • composizione di roto-omotetie: RvRw = Rvw
  • azione sulle unità: Rw(1)=w  e  Rw(i)=ort(w)
  • commutatività: RwRv = RvRw
  • associatività: come per traslazioni e omotetie 
  • azione sul coniugato del fattore: Rw(w) ≥ 0 (prova a dimostrare queste proprietà)