Triángulo equilátero máximo pasando por 3 puntos
Construir el triángulo equilátero de mayor perímetro cuyos lados pasan por tres puntos A, B y C dados.
Los vértices deben estar en las circunferencias de los arcos capaces de 60°/120° de los segmentos AB, BC y CA.
Estas circunferencias cE, cD y cF, tienen centros en los puntos D, E y F, que son los centros de triángulos equilateros construidos sobre los lados del △ABC. Forman un triángulo equilátero, el triángulo exterior de Napoleón del △ABC.
Estas tres circunferencias se cortan en el punto T, de Torriceli o Fermat, del △ABC, pues en el punto en que se cortan dos de ellas, se ven dos segmentos bajo un ángulo de 120°, por lo que el tercero también y el punto está en la tercera circunferencia. Este punto minimiza la suma de distancias a los vértices A, B y C.
Si a partir de un punto cualquiera G de cD se traza la recta que pasa por C, volverá a cortar a la circunferencia cE en el punto H. La recta que pasa por H y por A forman un ángulo de 60°. Si esta recta vuelve a cortar a cF en I, el ∠HIB también será de 60°, por lo que la recta IB se cortará con la HC con un ángulo de 60°, sobre la circunferencia cD por tanto. Es decir, en el punto G de partida, cerrando un triángulo equilátero.
Por la constancia del ángulo inscrito que abarca un segmento, los △TGH, △THI y △TIG permanecen semejantes a si mismos, sea cual sea la posición del punto G en cD. Los lados del triángulo equilátero GHI serán máximos cuando los segmentos TG, TH y TI sean los diámetros de las circunferencias respectivas.
Por tanto, el triángulo equilátero de perímetro máximo que pasa por los puntos A, B y C tiene sus vértices en los puntos diametralmente opuestos de T en las circunferencias respectivas.
Los △DEF y △GMHMIM son homotéticos respecto de T, con razón 2.