Retta tangente come limite di ingrandimenti
Presentiamo ora un modo un po' inusuale di introdurre la retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto. L'idea e' semplice: supponiamo di avere una funzione derivabile, di centrare un microscopio su un punto del suo grafico, e di ingrandire sempre più la figura... Intuitivamente, man mano che l'ingrandimento cresce, il grafico ci apparirà sempre meno curvo, e tenderà ad appiattirsi sulla retta tangente!
La cosa è confermata ``sperimentalmente'' dalla simulazione java presente in questa pagina: in rosso, è rappresentato il grafico di una funzione passante per l'origine (possiamo sempre ridurci a questa situazione con un'opportuna traslazione degli assi coordinati). In nero tratteggiato, è rappresentata la retta tangente al grafico nell'origine.
Il pulsante Ingrandisci permette di ingrandire il grafico attorno all'origine: precisamente, il contenuto del quadrato piccolo viene ``gonfiato'' del doppio fino a riempire il quadrato grande. Ovviamente, questa operazione non ha alcun effetto sulla retta tangente: essa è invariante rispetto ad omotetie centrate nell'origine! Premendo ripetutamente il pulsante (e quindi ingrandendo sempre di più la figura) vediamo che il grafico tende a confondersi con la retta tangente, fino a che le due figure risultano indistinguibili:
Quel che abbiamo visto non è vero solo per la particolare funzione che abbiamo scelto nella simulazione java, ma avviene sempre. Per verificarlo, supponiamo che  sia una funzione derivabile in , con . Supponiamo poi di ingrandire tutto il grafico, in modo che un quadratino centrato nell'origine degli assi e di lato , vada a riempire il quadrato (sempre di centro l'origine) di lato : è chiaro che, più  sarà piccolo , più grande sarà l'ingrandimento del nostro grafico.
Si vede subito che la figura ingrandita è il grafico della funzione
 (dove l'ultima uguaglianza viene dal fatto che ). Ora, facendo il limite per  (e quindi ``mandando il fattore di ingrandimento all'infinito'') si ottiene: ed effettivamente il grafico ingrandito tende alla retta tangente, in ogni fissato punto !