De standaardnormale verdeling
De grafische betekenis van het gemiddelde en de standaarafwijking
Onderstaand zie je de grafiek van de normale verdeling. Probeer eerst en vooral te spelen met de parameters en . Hoe verandert de grafiek onder invloed van deze parameters?
Als het gemiddelde kleiner wordt en de standaardafwijking blijft gelijk dan...
Als het gemiddelde groter wordt en de standaardafwijking blijft gelijk dan...
Als de standaardafwijking groter wordt en het gemiddelde blijft gelijk dan...
Als de standaardafwijking kleiner wordt en het gemiddelde blijft gelijk dan...
De standaardnormale dichtheidsfunctie
Op een verschuiving volgens de x-as en een eventuele uitrekking volgens de assen na, hebben
alle normale verdelingen dezelfde vorm. Bij bepaalde berekeningen herleidt men trouwens de waarnemingen van de normale verdeling met gemiddelde en standaardafwijking naar de standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Deze omzetting wordt standaardisering genoemd.
Om een waarde te standaardiseren wordt de verwachting ervan afgetrokken en vervolgens gedeeld
door de standaardafwijking.
De Z-score
Als een waarneming is uit dan is de gestandaardiseerde waarde van met
Een gestandaardiseerde waarde wordt ook wel een z-score genoemd.
Een z-score geeft aan hoeveel standaardafwijkingen de oorspronkelijke waarneming van het
gemiddelde verwijderd is en in welke richting. Waarnemingen groter dan het gemiddelde geven
een positieve z-score, waarnemingen die kleiner zijn dan het gemiddelde geven een negatieve
z-score.
Z-scores worden onder meer gebruikt om waarnemingen uit verschillende populaties
en/of steekproeven met elkaar te vergelijken.
Voorbeeld
Leila zit in de 6LWi bij meester Moons en behaalde op zijn laatste toets wiskunde
14 op 20. Het klasgemiddelde was 11 met standaardafwijking 3.
Sacha, de tweelingsbroek, zit in de 6LMT en behaalde op zijn laatste toets 23
op 30. Het klasgemiddelde was 19 met een standaardafwijking van 5.
Wie heeft er nu relatief gezien het beste gewerkt?
- de z-score van Leila is:
- de z-score van Sacha is: