Der Logarithmus
Definition
Der Logarithmus einer Zahl ist definiert als Lösung einer Exponentialgleichung:
Sprich: "x ist der Logarithmus von y zur Basis q."
Den Logarithmus zur Basis 10 bezeichnet man als dekadischen Logarithmus:
Der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl) heißt natürlicher Logarithmus:
Den Logarithmus zur Basis 2 kürzt man manchmal mit ab.
Beispiele
Gesucht ist die Zahl, mit der man 3 potenzieren muss, um 81 zu erhalten.
Der gesuchte Exponent ist 4 (was man auch durch Probieren herausbekommen würde); also ist 4 der Logarithmus von 81 zur Basis 3.
Der dekadische Logarithmus der Bevölkerungszahl Deutschlands ist ca. 7,91. Die Bevölkerungszahl kann man hieraus wieder rekonstruieren, indem man die Potenz mit Basis 10 und Exponent 7,91 berechnet.
Aufgabe: Logarithmus berechnen
Welche Berechnungen sind richtig?
Die Logarithmus-Funktion
Logarithmus-Funktionen sind definiert als:
mit
Aufgabe: Definitionsmenge
Warum ist die Definitionsmenge ?
Aufgabe: Umkehrfunktion
Wiederholung: Den Graphen der Umkehrzuordnung erhält man, in dem man den ursprünglichen Graphen an der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten (d.h. an der Geraden mit Gleichung y=x) spiegelt. Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f mit ? Testen Sie Ihre Vermutung mit obigem Applet. Wie beweist man diese Erkenntnis algebraisch?
Neue (und altbekannte) Äquivalenzumformungen
Durch sogenannte Äquivalenzumformungen ändert sich die Lösungsmenge einer Gleichung nicht.
Beispiele sind:
- auf beiden Seiten eine Zahl addieren oder subtrahieren
- beide Seiten mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren
- den Kehrwert beider Seiten bilden, sofern zuvor gezeigt werden kann, dass beide Seiten nicht Null werden können.
- beide Seiten quadrieren:
- aus beiden Seiten die Wurzel ziehen (Vorsicht: plus-minus!):
- generell: beide Seiten mit einer Zahl ungleich Null potenzieren:
Aufgabe: Logarithmusgesetze beweisen
Die beiden Identitäten und bedeuten, dass Exponentiale und Logarithmen sich "gegenseitig aufheben", ähnlich wie Plus und Minus, Mal und Geteilt, etc. Beweisen Sie folgende Logarithmusgesetze mit Hilfe der obigen Äquivalenzumformungen sowie der beiden Identitäten:
Aufgabe: Logarithmusgesetze anwenden
Überprüfen Sie, ob folgende Termumformungen zulässig sind.