Parametryzacja a ekstrema warunkowe
Materiał wyjaśnia metodę znajdowania ekstremów warunkowych za pomocą parametryzacji zbioru ograniczeń. Dana jest funkcja g dwóch zmiennych (na rysunku zaznaczone są jej poziomice). Dany jest zbiór ograniczeń S (na rysunku jest to czarny okrąg). Rozważamy parametryzację biegunową okręgu. Złożenie jest funkcją, której wykres zaznaczony jest w prostokącie (wykres jest przeskalowany, aby się mieścił w prostokącie niezależnie od danej funkcji g i okręgu S). Zaznaczony jest zielony punkt w dziedzinie, oznaczający rozpatrywaną wartość parametru t. Czerwony punkt na okręgu to wartość parametryzacji dla danego parametru, czyli .
Modyfikuj parametr t, poprzez zmianę położenia zielonego punktu. Można włączyć animację, aby sam się poruszał (prawy przycisk myszy na zielonym punkcie -> odpowiednia opcja w menu kontekstowym).
Zobacz, jak zmienia się czerwony punkt, który jest obrazem punktu t poprzez parametryzację biegunową.
Zobacz, jak zmienia się wartość (wykres tej funkcji naszkicowany w lewej części karty).
Zobacz, że w miejscach, gdzie funkcja osiąga ekstremum/punkt krytyczny, poziomica funkcji g (czerwona krzywa), przechodząca przez punkt (czerwony punkt) jest styczna do zbioru ograniczeń S. Zatem jest tam ekstremum / wartość krytyczna funkcji g na zbiorze S.
Zobacz, jak zmieniają się kąty (należy włączyć wyświetlanie kątów) między gradientem funkcji g oraz pochodną funkcji . W punktach krytycznych funkcji kąt jest prosty, co oznacza, że poziomica jest styczna do zbioru S. W punktach t, gdzie funkcja ,,rośnie" (pochodna dodatnia), kat jest ostry, a w punktach, gdzie maleje, kąt jest rozwarty (czy potrafisz udowodnić ten fenomen?).
Można wyobrażać sobie, że mamy do czynienia z mapą terenu. Wartość g(x,y) opisuje wysokość nad poziomem morza punktu (x,y). Zaznaczone poziomice funkcji pokrywają się z pojęciem poziomic używanym w kartografii. Okrąg to trasa, którą chcemy przejść. Parametr t oznacza dystans pomiędzy startem (punktem (1,0) a punktem na trasie. Punkt to punkt na trasie odległy od startu o dystans t. Wykres po lewej stronie, to profil trasy: dla każdej wartości t mamy wysokość punktu . Widać, gdzie będziemy musieli się wspinać, a gdzie będziemy schodzić. Mimo, iż na szczyt żadnej góry nie wejdziemy (dla wyjściowych danych), to i tak gdzieś będziemy w najwyższym punkcie na trasie. To jest maksimum warunkowe.
A czy wiesz, gdzie dla wyjściowych danych jest szczyt i gdzie jest kotlina? Spójrz na profil trasy i kierunek gradientu funkcji g.
Można modyfikować funkcję g (czasem powoduje to zniknięcie poziomic - może ktoś mi powie, dlaczego). Najlepiej rozważać wielomiany stonia nie większego niż 3 (poziomic innich funkcji może nie potrafić wykreślić).
Można modyfikować liczbę poziomic (parametr n) i rozpiętość wartości (mini i maks).
Można modyfikować promień okręgu S (parametr r) oraz środek okręgu (punkt niebieski).