Derivada de una función (con listas de funciones)
Este archivo muestra de forma gráfica el concepto de derivada de una función f(x) en un punto A.
Se define como derivada el valor límite de los cocientes incrementales determinados por la posición del punto B cuando este se acerca a A moviéndose sobre la función f(x). Esos cocientes incrementales son, precisamente, las pendientes de las rectas secantes AB .
Ese valor límite coincide con la pendiente de la recta límite de las secantes, que es la recta tangente.
Este archivo (o un modificación personalizada del mismo) puede ser un complemento interesante en las clases de 1º de Bachillerato para visualizar de forma práctica la idea-concepto de la interpretación gráfica de la derivada de una función en un punto.
En cualquier caso, este archivo concreto ha sido diseñado para mostrar cómo se pueden usar listas de funciones en Geogebra, más que para otra cosa.
LISTAS DE FUNCIONES EN GEOGEBRA Y DETALLES DE ESTA CONSTRUCCIÓN:
- Definimos en la línea de entrada de comandos: ListaDeFunciones = {x², sen(x), ℯ^x, ln(x)} (y hacemos que se vea el Subtítulo: 'Función elegida')
- Seleccionamos en las propiedades básicas (botón derecho del ratón) de la ListasDeFunciones la opción "Se extiende como lista desplegable" (para que se muestre en la ventana gráfica y para que los usuarios puedan elegir una de las funciones disponibles).
- Definimos f(x) = ElementoElegido[ListaDeFunciones] (hacemos uso del comando ElementoElegido para obtener la función seleccionada por el usuario en la lista de funciones). De esta forma f(x) se actualiza cada vez que el usuario cambia la selección.
- Definimos los dos deslizadores a y h. El deslizador a será la abcisa del punto A=(a, f(a)) situado sobre la gráfica de la función elegida y el deslizador h servirá para situar el punto móvil B=(a+h, f(a+h)).
- Dibujamos la recta secante AB, modificamos sus propiedades (color, grosor, ...).
- Dibujamos la recta tangente a f(x) en A: 'Tangente[A, f]', modificamos sus propiedades (color, grosor, ...).
- Colocamos los puntos C, D, E usando los valores de a y de h y dibujamos los segmentos necesarios a partir de esos puntos
- En el segmento AE usamos LaTeX para poner un subtítulo: '$\Delta x{{SSR}}#x27;
- En el segmento EB usamos LaTeX para poner un subtítulo adecuado: '$\Delta f = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}{{SSR}}#x27;
- Añadimos una casilla de control para controlar la visibilidad de la recta tangente.
- Añadimos un texto en la zona gráfica: 'Pendiente de la recta tangente: m= Pendiente[rectaTangente]' (escribimos sin usar LaTeX , pero después del símbolo '=' usamos un truco: insertamos el Objeto rectaTangente, que es el nombre que le hemos puesto a la recta tangente en nuestro archivo, metemos el ratón dentro de la zona en la que aparece incrustrado el nombre rectaTangente y lo mofificamos para que se convierta en 'Pendiente[rectaTangente]' con lo que conseguimos que el texto muestre el valor numérico de la pendiente deseada.
- Añadimos otro texto, esta vez activando la casilla LaTeX porque queremos introducir fracciones: \text{Cociente incremental al pasar del punto A al punto B:}\cr \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ * }{** }= ***, donde los valores *, ** y *** nos muestran: * -> f(a+h)-f(a), ** -> h, ***-> cocienteIncremental, siendo cocienteIncremental una variable definida previamente: 'cocienteIncremental=Si[h ≠ 0, (f(a + h) - f(a)) / h, Pendiente[rectaTangente]]'
Carlos Fleitas, marzo de 2014