Valores Máximo e Mínimo

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial são os problemas de otimização, em que devemos encontrar a maneira ótima (melhor maneira) de fazer alguma coisa. Esses problemas podem ser reduzidos a encontrar os valores máximo ou mínimo de uma função. Vamos primeiro explicar exatamente o que queremos dizer por valores máximo e mínimo. I- Definição: uma função tem máximo absoluto (ou máximo global) em se para todo em D, onde D é o domínio de . O número  é chamado valor máximo de em D. Analogamente, tem um mínimo absoluto em se  para todo  em D, e o número  é denominado valor mínimo de  em D. Os valores máximo e mínimo de  são chamados valores extremos de. II- Definição: uma função  tem um máximo local (ou máximo relativo) em  se  quando estiver nas proximidades de .[isso significa que  para todo em algum intervalo aberto contendo .] Analogamente,  tem um mínimo local em  se  quando  estiver próximo de . Exemplo 1: A função  assume seu valor máximo (local e absoluto) 1 um número infinito de vezes, uma vez que para todo inteiro  e  para todo . Da mesma forma, é seu valor mínimo, onde é qualquer inteiro. Vamos analisar esse exemplo com ajuda do Geogebra.

Sendo o valor máximo igual a  e movendo o controle deslizante  dentro do intervalo definido pelas retas  e  observamos que o valor de  é sempre menor que  nas proximidades do valor máximo. O mesmo pode ser feito com o valor mínimo, sendo  o valor do ponto mínimo,  sempre vai ser maior que  nas proximidades do ponto mínimo. Exemplo 2: Se , então pois  para todo. Portanto,  é o valor mínimo absoluto (e local) de . Isso corresponde ao fato de que a origem é o ponto mais baixo sobre a parábola . Porém, não há um ponto mais alto sobre a parábola e, dessa forma, a função não tem um valor máximo.

Movendo o controle deslizante  observamos que  em toda a parábola, assim o ponto  é um ponto de mínimo e a função não tem ponto de máximo. Exemplo 3: Vamos analisar o gráfico da função   com o Geogebra.

Movimentando o controle deslizante  você pode ver que  é um máximo local, enquanto o máximo absoluto é .[esse máximo absoluto não é o máximo local, pois ocorre em um extremo do intervalo.] Também, é um mínimo local, e é tanto um mínimo local como um mínimo absoluto. Observe que em ,  não tem um máximo local nem um máximo absoluto.

Vimos que algumas funções têm valore extremos, enquanto outra não têm como por exemplo ou . O teorema a seguir dá condições para garantir que uma função tenha valores extremos. III- O Teorema do Valor Extremo: Se  for contínua em um intervalo fechado , então  assume um valor máximo absoluto  e um valor mínimo absoluto  em certos números  e  em . Embora o Teorema do Valor Extremo seja intuitivamente muito plausível, ele é difícil de ser demostrado e, assim, omitimos sua demonstração. O Teorema do Valor Extremo afirma que uma função contínua em um intervalo fechado tem um valor máximo e um mínimo; contudo, não diz como encontrar esses valores extremos. O teorema a seguir mostra como se deve começar a procurar por esses valores. IV- Teorema de Fermat: Se tiver um máximo ou mínimo local em e se  existir, então . Demonstração: Suponha que tenha um máximo local em . Então, de acordo com a Definição 2,  se  estiver suficientemente próximo de , o que implica que se  estiver suficientemente próximo de 0, sendo  positivo ou negativo, então  e, portanto, V-   Podemos dividir ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo. Assim, se e  for suficientemente pequeno, temos

Mostramos que  e também que . Uma vez que ambas as desigualdades devem ser verdadeiras, a única possibilidade é que . Demonstramos o Teorema de Fermat para o caso de um máximo local. O caso de mínimo local pode ser demonstrado de forma análoga. O exemplo a seguir chamam nossa atenção para o fato de que não devemos esperar demais do teorema de Fermat. Não podemos esperar localizar os valores extremos impondo  e isolando . Exemplo 4: Vamos analisar no Geogebra o gráfico da função .

Se , então , logo Porém,  não tem máximo nem mínimo em 0, como podemos ver em seu gráfico. (Ou observe que  para , mas  para .) O fato de que significa simplesmente que a curva  tem uma reta tangente horizontal em . Em vez de  ter máximo ou mínimo em (0, 0), a curva cruza sua tangente horizontal aí. Atenção: O Exemplos 4 mostra que devemos ser muito cuidadosos no uso do Teorema de Fermat. O Exemplo 4 mostra que, mesmo quando , não é necessário existir um máximo ou um minimo em . (Em outras palavras, a recíprova do Teorema de Fermat em geral é falsa.) Além disso, pode existir um valor extremo mesmo quando  não existir.

O Teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valores extremos de nos números  onde  ou onde  não existe. Esses números têm um nome especial. VI- Definição: Um número crítico de uma função  é um número  no domínio de  onde ou  ou  não existe.

Note que se você mover o ponto P, usando o controle deslizante, para o ponto A à inclinação da reta  e o valor de  não vão existir. Agora se o ponto P estiver sobre o ponto B o valor da inclinação da reta  e valor de  são iguais a zero.

Para encontrar um máximo ou um mínimo absoluto de uma função contínua em um intervalo fechado, observamos que ou ele é local [nesse caso ocorre em um número crítico, por (7)] ou acontece em uma extremidade do intervalo. Assim, o seguinte procedimento de três etapas sempre funciona.

1- Encontre os valores de  nos números críticos de  em . 2- Encontre os valores de  nas extremidades do intervalo. 3- O maior valor entre as etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto. Exemplo 6: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função

Comparando esses quatro números usando o controle deslizante, vemos que o valor máximo absoluto é e o valor mínimo absoluto, . Observe que neste exemplo o máximo absoluto ocorre em uma extremidade, enquanto o mínimo absoluto acontece em um número crítico. Como mostrado no exemplo 6. Note, também, que o valor da inclinação da reta é igual a zero nos pontos críticos e .