Tétraèdre orthocentrique
Un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique.
Le point concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.
Trois points B, C et D dans le PlanxOy.
H orthocentre de BCD : H=TriangleCentre[B,C,D,4]
A un point de la perpendiculaire à PlanxOy passant par H
ABCD est un tétraèdre de base BCD de sommet A
Quatre hauteurs concourantes
On projette orthogonalement les autres sommets sur les faces opposées ;
on obtient respectivement les points P, Q, R.
Un tétraèdre orthocentrique a ses arêtes opposées orthogonales deux à deux.
• Les quatre hauteurs sont concourantes en G orthocentre du tétraèdre. Le point G est aussi le point de concours des trois perpendiculaires communes aux couples d'arêtes opposées.
• Les pieds des hauteurs sont les orthocentres des faces opposées.
• La somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour chacune des trois paires d'arêtes opposées :
AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA².
Descartes et les Mathématiques : tétraèdre avec GeoGebra 3D