Les grands cercles
Dans cette feuille dynamique, nous définissons les grands et les petits cercles, les arcs de grands cercles, les pôles et plus encore. Il faut s'assurer d'apprendre rapidement ces définitions si l'on ne veut dévier de l'arc de grand cercle menant à la compréhension.
Les grands cercles
Nous savons que l'intersection d'un plan et d'une sphère est un cercle. Si le plan passe par le centre de la sphère, on appelle alors le cercle tracé sur le plan un grand cercle. Comme le centre d'un grand cercle est le centre de la sphère, le rayon du grand cercle est le même que celui de la sphère. C'est donc le plus grand cercle que l'on peut obtenir en sectionnant une sphère par un plan.
Si le plan ne passe pas par le centre de la sphère, on parle alors d'un petit cercle. Comme nous le verrons bientôt, ce sont les grands cercles qui ont tout pour plaire.
Il ne passe qu'un seul grand cercle par deux points distincts et sur la sphère. En effet, il n'existe qu'un seul plan passant par les trois points , et le centre de la sphère [à moins que les points et soient diamétralement opposés : que se passe-t-il dans ce cas?]. L'intersection entre ce plan unique et la sphère est donc le seul grand cercle passant par les deux points et . Nous noterons par le grand cercle passant par et .
Par contre, il passe une multitude de petits cercles par deux points et , comme le montre l'appliquette ci-dessous. Mais, pour les mêmes raisons que précédemment, il ne passe qu'un seul petit cercle par trois points (non alignés).
Les arcs de grands cercles
Si l'on regarde le grand cercle passant par et , on remarque que ces deux points le divisent en deux arcs de cercle : un petit et un grand (sauf évidemment si les deux points sont diamétralement opposés, mais c'est un détail sans conséquence). Comme c'est du petit arc que naîtront les miracles, appelons arc de grand cercle le plus petit des deux arcs reliant les points et sur le grand cercle. Nous noterons par l'arc de grand cercle reliant et .
Les pôles
Érigeons la droite perpendiculaire au plan contenant un cercle et passant par le centre de ce cercle. Cette perpendiculaire ira perforer la sphère en deux points que l'on appelle les pôles de ce cercle sur la sphère. Les pôles seront d'une utilité surprenante dans la suite des choses.