Première partie
Tout d'abord, notons que si , l'aire du triangle ne dépend pas de la position du point sur le segment .
Les triangles et ont donc des aires égales :
Si nous considérons les triangles et , nous avons :
et
Donc :
Si nous appelons le pied de la perpendiculaire à menée au point , nous avons :
et
Si nous appelons le pied de la perpendiculaire à menée au point , nous avons :
et
Or nous avons vu que , nous avons donc :
et
Soit : et
Ce qui équivaut à : et
Nous avons donc :
Ce qui équivaut à :
L'égalité des rapports des longueurs des côtés adjacents est démontrée.