0501 Kitűzött feladatok
Ezen a munkalapon olyan feladatokat fogalmaztunk meg, amelyek megoldásához elegendőek a P-modell eddig megismert saját eljárásai. Ezek mindegyike megoldható az abszolút geometria eszköztárával, azaz semmilyen formában nem használja a párhuzamossági axiómát, sőt a mérésekkel kapcsolatos ismereteket (axiómákat) sem. Így e feladatok új megvilágításba helyezhetnek több, eddig elemi geometriából ismert összefüggést.
A kitűzött feladatok részben kapcsolódnak egymáshoz, így e feladatsor végére jutva megismerhetjük az összes egybevágósági transzformációt.
A fejezet további munkalapjai ezeknek a feladatoknak az ötletekkel, magyarázatokkal kiegészített megoldásait tartalmazzák. Javasoljuk, hogy csak a feladatok önálló megoldását követően keressék fel e fejezet további munkalapjait. Az ott található appletek letöltése, offline futtatása, és a forrásfájljaik tanulmányozása ötleteket adhat egyéb feladatok megoldásához is.
Feladatok
- Legyen adott az A, B és O pont. Szerkesszük meg az O középpontú AB sugarú kört!
- Legyen adott az A és B pont. Szerkesszük meg az AB átmérőjű kört!
- Legyen adott az AB és CD szakasz. Szerkesztéssel döntsük el, hogy melyik szakasz a nagyobb!
- Állapítsuk meg (rögzítsük a képernyőn) a csúcsaival adott ABC háromszög oldalai közötti nagyságrendi viszonyt (a szakaszok mérése nélkül).
- Legyen adott az O pont, valamint a t1=(O,A) egyenes. Legyen t2 a t1-re merőleges, ugyancsak O-ra illeszkedő egyenes. Legyen a H-sík egy P pontjának a t1-re vonatkozó tükörképe P’, majd ennek a t2 re vonatkozó tükörképe P''. Mutassuk meg, hogy P'' nem függ t1 megválasztásától, sem a tükrözések sorrendjétől, továbbá azt, hogy PP'' szakasz felezőpontja O! E két tengelyes tükrözés szorzatát (egymásba ágyazott végrehajtást) nevezzük az O pontra vonatkozó középpontos tükrözésnek.
- Legyen adott az O pont, valamint a t1=(O,A1) és t2=(O,A2) két tetszőleges, O-ra illeszkedő egyenes. Legyen a H-sík egy P pontjának a t1-re vonatkozó tükörképe P’, majd ennek a t2-re vonatkozó tükörképe P''. Mutassuk meg, hogy P'' csak az O pont megválasztásától, a t1 és t2 egyenesek szögétől, és a tükrözések sorrendjétől függ. Mutassuk meg, hogy a (
P,O,P'')∢=2α , ahol α=(A1,O,A2)∢. E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az O pont körüli forgatásnak, ahol a forgatás szögét a két tengely szöge, irányát a tükrözések sorrendje határozza meg. - Adjuk meg az e egyenest az O és E pontjával! Rendeljük hozzá az O ponthoz a 0 számot, E-hez az 1-et! Szerkesszük meg az így kapott számegyenesen néhány egész számnak megfelelő pontot!
- Folytassuk az előző feladatot! Legyen t1 és t2 két olyan egyenes, amelyek e-re merőlegesek és két szomszédos egész számnak megfelelő pontban metszik e-t. Legyen a P pont t1-re vonatkozó tükörképe P’, ennek a t2-re vonatkozó tükörképe P''. Mutassuk meg, hogy P'' pont helye kizárólag az O, E és a P pont megválasztásától függ!
- Általánosítsuk tovább az előző feladatot! Legyen egy adott e egyenesen mozgó O, E és T0 pont! Legyen T1 az e egyenesnek az a pontja, amelyre OE=T0T1=1 egységnyi. Az irányításuk is legyen azonos. Végezzük el az iménti kettős tükrözést a H sík egy tetszőleges P pontjára! Miként függ a kapott P'' pont az O, E és T0 pontok megválasztásától? E két tengelyes tükrözés szorzatát nevezzük az e egyenes menti 2 OE mértékű eltolásnak.
- Legyen adott a P-modell két egyenese t1 és t2 . Legyen az ABC háromszög t1-re vonatkozó tükörképe A’B’C’ , majd ennek t2-re vonatkozó tükörképe A''B''C''. Milyen egybevágósági transzformáció az ABCΔ → A''B''C''Δ hozzárendelés? Ezt a hozzárendelést a két tengelyes tükrözés szorzatának nevezzük.