Extremwertaufgabe - Tragfähigkeit eines Balkens
In diesem Arbeitsblatt erlernst du, wie Extremwertaufgaben mit Hilfe der Differentialrechnung gelöst werden können. Wenn es gelingt, eine Variable als stetige und differenzierbare Funktion einer Variablen x darzustellen, dann lässt sich für berechnen, an welcher Stelle x ein Extremwert auftritt. So lassen sich bspw., wenn entsprechende Gewinn- oder Kostenfunktionen vorliegen, Gewinne maximieren bzw. Kosten minimieren.
In unserem Beispiel geht es um die Maximierung der Tragfähigkeit eines Balkens, der aus einem Baumstamm herausgeschnitten wird. Der Baumstamm hat einen kreisförmigen Querschnitt mit dem Durchmesser d. Der Querschnitt des Balkens mit der Breite b und der Höhe h ist so zu bestimmen, dass die Tragfähigkeit T maximiert wird (s. II. Quadrant).
Im I. Quadranten werden entsprechende funktionale Zusammenhänge zwischen der Tragfähigkeit T des Balkens dargestellt. In die Berechnung der Tragfähigkeit T geht eine Materialkonstante c ein (s. Schieberegler für c). Die Tragfähigkeit ist außerdem proportional zur Breite b und zum Quadrat der Höhe h des Balkens, so dass sich folgender Zusammenhang ergibt:
Problemstellung:
Welche Breite b muss gewählt werden, damit die Tragfähigkeit T maximiert wird?
Mit der Breite b wird natürlich über den gegebenen Durchmesser d des Baumstammes auch die Höhe h bestimmt.