Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Задача П1.10

Условие

На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что . Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно. Докажите, что если , то

Рисунок

Решение 1 (подобие треугольников)

Треугольник BCO подобен треугольнику DEP. Из подобия следует . Так как , и , то пропорцию можно переписать в виде (1). Треугольник COP подобен треугольнику ABO, поэтому . Диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, поэтому из последней пропорции получаем (2). Подставляем первое отношение пропорции (2) во второе отношение пропорции (1). Получаем пропорцию: . или . Что и требовалось доказать.

Решение 2 (отрезки между параллельными прямыми)

Так как BO=DP, то . Так как диагонали трапеции делятся в точке пересечения в отношении оснований, то (1), так как . Так как прямые AB и CE параллельны, то они отсекают пропорциональные отрезки на прямых BD и AD, то есть (2). Из (1) и (2) получаем или .