Trissecção do ângulo por Arquimedes.
Os pontos M, N e O são movíveis.
Como funciona.
Quando o segmento i é igual ao raio da circunferência de raio , temos que o ângulo é igual a terça parte de . Para chegar a essa conclusão seguimos os seguintes passos:
1. Visualizamos que os triângulos e são isósceles (pois todos tem 2 lados iguais ao raio da circunferência de raio );
2. Temos então que o ângulo e ;
3. Utilizando o teorema do ângulo externo, temos que o ângulo , e como , concluímos que ;
4. Se e , então ;
5. Aplicando o teorema do ângulo externo agora para o triângulo , temos que o ângulo: , substituímos pelo valor encontrado no item 4 e chegamos a igualdade , logo, .
6. Então o ângulo é igual a terça parte do ângulo , assim trissecando o ângulo desejado.
É importante lembrar que este método para a resolução do problema da trissecção do ângulo é feito através do método de neusis (pois para construirmos o segmento NM de modo que BN seja igual a um segmento já descrito, é necessário o uso de, por exemplo, uma régua graduada), e ao usarmos este método estamos fugindo do uso de: somente régua não graduada e compasso para a resolução dos problemas Gregos.
Quando o ângulo for maior que 180°.
Quando o ângulo MOA (verde) for maior que 180°, podemos ver que o ângulo ONB (azul) não está mais o trissectando, para resolver isso poderíamos simplesmente mudar os ângulos, ou seja, passá-los de externos para internos, o que nos daria os mesmos valores encontrados quando o ângulo MOA<180°.
Ou simplesmente subtraímos 240° do ângulo ONB, e novamente conseguimos que o ângulo MOA seja o triplo do ângulo ONB. Colocando isso em uma igualdade ficaria: , e lembrando que estamos falando dos ângulos externos, pois queremos a trissecção de ângulos maiores que 180°.