Ortocentro
Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un
punto. Tale punto è detto ortocentro.
Costruzione
Disegnare un triangolo ABC e le sue altezze AK, BH e CJ; per ogni vertice
del triangolo tracciare la parallela al lato opposto; le tre rette
formano il triangolo DEF.
| Ipotesi | Tesi |
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Dimostrazione
- BAFC e BEAC sono due parallelogrammi perchè hanno i lati opposti paralleli.
- Poichè in un parallelogrammo i lati opposti sono congruenti: BC=AF e BC=EA.
- Per la transitività della congruenza si ottiene AF=EA, ossia A è punto medio di EF.
- Essendo AK perpendicolare a BC e BC//EF allora AK è perpendicolare a EF
- Per 3. e 4. AK è asse di EF; analogamente BH e CJ sono assi rispettivamente di FD e ED.
- Allora AK, BH e CJ si intersecano in uno stesso punto che è il circocentro di EDF.
Una proprietà del triangolo mediano
Il circocentro di un triangolo coincide con l'ortocentro del suo triangolo mediano.
Dimostrazione
In base alla dimostrazione precedente basta osservare che il triangolo ABC è il triangolo mediano di EFD e che il circocentro di quest'ulitmo coincide con l'ortocentro di ABC.
c.v.d.