Metriken in R² und R³

Autor:Andreas Lindner

Definition Sei X eine nichtleere Menge. Eine Funktion d:

heißt Metrik oder Abstand auf X, wenn gilt: (1) Positive Definitheit:

für alle

und

(2) Symmetrie:

(3) Dreiecksungleichung:

für alle

Man nennt (X,d) einen metrischen Raum.

Auf einer Menge X gibt es verschiedene Metriken. Einige der wichtigsten sind:

Betragsmetrik:
Euklidische Metrik:
Maximumsmetrik:

Hinweis: x und y sind in dieser Notation Elemente der Menge X und nicht Koordinaten enes Punktes. Die Koordinaten werden mit x₁, x₂ usw. bezeichnet. Aufgabe Bewege den Punkt P und beobachte den Abstand des Punktes P von O(0,0). Die dargestellten Figuren bzw. Körper sind die Einheitskreise bzw. Einheitskugeln im

bzw.

bezüglich der verwendeten Metrik.

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