Definição formal de convergência de Sequências Numéricas
Como você já viu nas aulas a definição formal de convergência de sequências envolve o uso de épsilon e a determinação de um índice , o que geralmente é bastante confuso. Vamos tentar descomplicar isso!
A definição formal é a seguinte:
Definição: Dizemos que uma sequência é convergente se para qualquer número existir um número real e um índice tais que
Neste caso, diremos que é o limite de e escrevemos ou , quando .
Essa definição pode parecer confusa, mas quer dizer simplesmente que se o limite existir, não importa quão pequena seja a vizinhança deste limite (no caso o limite é ), vai sempre existir um certo índice (no caso o ) a partir do qual todos os elementos da sequência vão estar nessa vizinhança do limite, ou seja, a sequência vai ficando cada vez mais próxima do limite.
Vamos ver o que isso significa com um exemplo e sua representação geométrica.
Exemplo: Considere a sequência .
Você já deve imaginar que quando o valor de crescer o valor da fração vai diminuindo. Até consegue concluir com seus conhecimentos de Análise que o limite é 0. Mas como verificar isso formalmente???
Veja o applet a seguir, que vai determinando os pontos da sequência na reta real conforme varia o valor de . Escolha um deslizando o controle do , isso vai gerar uma vizinhança (em vermelho) próxima do zero (você pode escolher um valor bem pequeno, já que a definição diz que tem que valer pra qualquer valor positivo que você escolher). Depois disso faça o valor de aumentar até que os ponto da sequência comecem a cair dentro do intervalo . Talvez seja necessário aumentar o valor máximo de n. Eu predefini que fosse 100, mas você pode aumentar o quanto for preciso. No momento em que os termos começarem a ficar dentro do intervalo acima quer dizer que a condição da definição está sendo satisfeita e você encontrou o valor do (claro que esse valor vai mudar dependendo do valor que você escolher para ).
Por exemplo, para o dado inicialmente () qual deverá ser o valor mínimo de , para que a partir desse valor todos os termos da sequência estejam no intervalo em vermelho? Basta movimentar o controle deslizante do , e você verá que a partir de , todos os termos () estarão dentro do intervalo vermelho.
Dica: Você pode dar zoom para ver melhor!