Les angles sphériques
L'angle entre deux grands cercles
Qui dit triangle, dit trois angles, mais quel sens donner à l'angle entre deux arcs de grands cercles? Il faut voir que si l'on zoome suffisamment sur le point de rencontre entre les deux grands cercles, les arcs deviennent pratiquement droits. Ce fait ne vous est pas étranger : en arpentage, vous usez de la trigonométrie plane avec un succès fulgurant (et pourtant, les triangles que vous mesurez sont sphériques).
La tangente à un cercle en un point est la droite qui approxime le mieux le cercle quand on est près de ce point (le mot tangente vient du latin tangere qui veut dire toucher : la tangente touche, effleure, le cercle en un point). Lorsque vous mesurez un angle sur le terrain, vous mesurez l'angle entre deux tangentes à des grands cercles (même si vous ne vous en rendez pas compte). C'est pourquoi nous dirons que l'angle sphérique entre deux grands cercles en un point est l'angle entre les deux tangentes aux grands cercles au point .
Une convention pour embellir le sujet
Nous conviendrons que les angles sphériques sont compris dans l'intervalle . En particulier, les angles d'un triangle sphérique respecteront cette convention. Ce choix ne cause pas de difficulté dans la pratique, mais rendra l'exposition des résultats plus claire et simple.
Le plan tangent
La tangente est la droite qui touche à un cercle en un point, qui approxime le mieux le cercle localement. De même, le plan tangent à une sphère en un point est le plan qui touche, qui approxime le mieux, la sphère. Quand vous prenez des mesures sur le terrain, vous les prenez en quelque sorte sur le plan tangent.
Nous projetterons les informations de la sphère sur le plan tangent. Ce dernier étant un plan, nous pourrons alors utiliser tout l’arsenal de la trigonométrie plane.
Toutes les tangentes aux grands cercles passant par un point sur la sphère sont contenues dans le plan tangent en ce point. L'angle sphérique est donc la mesure de l'angle entre deux droites sur le plan tangent.
Une autre façon de mesurer l'angle sphérique
Deux grands cercles se coupent en deux points et diamétralement opposés. Ces points sont les pôles d'un grand cercle que l'on peut appeler l'équateur (ce dernier est l'intersection entre la sphère et le plan perpendiculaire à la droite reliant ces deux points et passant par le centre de la sphère). Le plan de ce grand cercle est parallèle aux plans tangents aux deux points et . Ainsi, l'angle sphérique en est la mesure de l'arc sur ce grand cercle. Pour tenter de comprendre ce paragraphe, gigotez l'appliquette ci-dessous (et surtout regardez-la du dessus).
Des imprécisions sous contrôle
Il faut de très longues distances pour se rendre compte de l'effet de la courbure de la Terre. Dans l'appliquette ci-dessous, l'on retrouve la Terre (idéalisée comme une sphère de rayon ). Vous pouvez faire varier l'angle ou le point . À mesure que le point s'approche du point , l'arc de cercle s'approche de la corde et ces derniers deviennent à la limite confondus (zoomez sur le graphique afin de pouvoir rapprocher autant que vous le voulez les deux points). Vous remarquerez entre autres que l'erreur n'est que de un mètre entre un arc et une corde mesurant chacun environ kilomètres !