Die relativistische Energie
In der klassischen Physik bleibt die Masse eines Körpers unabhängig von seiner Geschwindigkeit immer gleich. Sie ist damit eine Erhaltungsgröße ebenso wie die Gesamtenergie eines Systems.
Eine der wichtigsten Folgerung aus den Grundannahmen der Speziellen Relativitätstheorie ist hingegen, dass die Masse eines Körpers von der Geschwindigkeit abhängt.
Die relativistische Masse m eines Körpers, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, nimmt für einen ruhenden Beobachter den Wert an, wobei m0 die sogenannte Ruhemasse darstellt.
Gedankenexperiment
Im nachfolgenden Applet sind zwei Körper mit jeweils der Masse m0 zu sehen, die durch eine Feder verbunden sind und eine Schwingung ausführen.
In den Zeitpunkten, in denen die Schwingung kurz zum Stillstand kommt, hat die Masse nur den Wert der Ruhemasse m0. Sobald sie sich aber bewegt, hat sie den höheren Wert der relativistischen Masse.
Die Frage ist nun, woher dieser Zuwachs an Masse kommen kann.
Herleitung der Formel E = m·c²
Es soll nun gezeigt werden, dass in der SRT Masse und Energie nicht mehr jeweils für sich allein Erhaltungsgrößen sind, sondern dass eine entsprechende Aussage nur für für beide Größen gemeinsam formuliert werden kann.
Wir gehen von der Überlegung aus, dass man den Ausdruck in eine Potenzreihe entwickeln kann.
Für den Ausdruck folgt damit
und weiter für den Ausdruck der relativistischen Masse
Weil der 2. Term aber bis auf den Faktor c2 im Nenner mit der klassischen Formel für die kinetischen Energie übereinstimmt, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit c2 und erhalten
Hier ist der 2. Term nun mit der klassischen kinetischen Energie identisch, daher müssen die anderen Terme ebenfalls Energiegrößen darstellen. Der erste Term bezeichnet die Ruheenergie eines Körpers mit Ruhemasse m0, der dritte und alle weiteren Terme stellen relativistische Korrekturen zur kinetischen Energie dar. Insgesamt erhält man als Ergebnis die berühmte Formel
E = Eo + Ekin = mo·c2 + Ekin = m·c2
Für die kinetische Energie ergibt sich aus der obigen AnleitungInteraktives Diagramm
Im folgenden Applet ist die kinetische Energie entsprechend der klassischen und der relativistischen Sichtweise dargestellt. Da die Bewegungsenergie Ekin von der Ruhemasse mo des betrachteten Körpers abhängig ist, ist auf der 2. Achse Ekin/moc2 aufgetragen.
Aufgabe
- Bewegen Sie den Punkt auf der 1. Achse, um die Geschwindigkeit von v = 0 bis v = c zu variieren.