Material de apoio ao Quiz da Aula ao Vivo I (26 Julho 2017)

Observando os valores da sequência é possível conjecturar que :

Pela definição formal de convergência de sequências numéricas, dizemos que uma sequência  é convergente se para qualquer número existir um número real e um índice  tais que . Seguindo essa definição formal, tomando , qual o menor valor de  para satisfazer a definição de convergência da sequência , ou seja, qual o menor índice a partir do qual os elementos da sequência estão a uma distância menor do que do limite que você descobriu na questão anterior?

Cinco alunos de Cálculo III – Ana, Bruna, Cibele, Douglas e Eduardo – se depararam com o seguinte problema: “Considere  uma sequência de números reais positivos tal que . Qual é o valor de ?” Todos resolveram e quando foram comparar as respostas descobriram que haviam obtido respostas diferentes: Ana disse que o limite era infinito; Bruna chegou a conclusão de que o limite era 0; Cibele determinou que o limite é igual ao primeiro termo da sequência, no caso ; Douglas chegou que o limite vale 1; Eduardo disse que o limite é igual a . Qual deles acertou?

Um caso muito comum de séries numéricas em que é fácil determinar se a soma converge ou diverge é o das séries geométricas. Nestes casos, além de ser fácil dizer que converge, é fácil dizer qual o limite da soma infinita. Uma série geométrica é da forma , onde . A série só converge quando a razão satisfaz uma certa condição. Sabendo disso, analise as seguintes afirmações: I. A série geométrica dada acima converge quando . II. . III.  IV. Se a série geométrica  converge, então também converge a série , para qualquer constante . É correto o que se afirma em

Sabe-se que, para todo número inteiro , tem-se . Neste caso, quanto vale o limite ? Dica: e lembre-se que .