Problema - Área do Círculo
O problema
As primeiras ideias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. Esse método consistia em inscrever e circunscrever a figura com uma sequência de polígonos. Aumentando o número de lados dos polígonos, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Utilizando a ideia do Método da Exaustão, calcule a área A de um círculo. (Você pode utilizar que o comprimento de uma circunferência é dado por ).
Para resolver o problema acima, utilize o aplicativo do GeoGebra e responda:
a) Altere o raio do círculo (controle deslizante r). O que essa alteração provoca no círculo?
b) Habilite “Mostrar Polígono Inscrito”, e movimente o controle deslizante “n”. Que conjecturas podem ser estabelecidas sobre a área e o perímetro do círculo conforme a variação de “n”?
c) Desabilite “Mostrar Polígono Inscrito” e habilite “Mostrar Polígono Circunscrito”, e movimente o controle deslizante “n”. Que conjecturas podem ser estabelecidas sobre a área e o perímetro do círculo conforme a variação de “n”?
d) Habilite “Exibir Triângulo” e deixe um valor fixo para o raio (r), o que acontece com a área do triângulo quando se movimenta o controle deslizante “n”?
e) Para r=3 e n=3, qual a diferença entre a área do polígono circunscrito e do polígono inscrito? E qual a diferença entre o perímetro do polígono circunscrito e do inscrito?
f) Conforme “n” aumenta, o que acontece com a diferença entre a área do polígono circunscrito e do inscrito? E com a diferença entre o perímetro do polígono circunscrito e do inscrito?
g) O que acontece com as áreas dos polígonos circunscrito e inscrito em relação a área do círculo, conforme aumenta-se o número de lados do polígono (n)?