1107 Egy versenyfeladat
Arany Dániel matematika verseny 2016/2017.
A verseny egyik feladata (Kezdők I-II. kategória 2. forduló 1. feladat) így hangzott:
Egy kört az AB átmérője két ívre osztja. Ezek közül az egyiken kijelöljük a C és D pontokat. Legyen az AC és BD egyenesek metszéspontja P, az AD és BC egyeneseké pedig Q! Mekkora szöget zár be a PQ egyenes az AB átmérővel?
Megoldás az euklideszi geometriában
A feladathoz készített (dinamikus) ábráról leolvasható, hogy az ABP Δ magasságpontja Q - függetlenül attól, hogy az AB félköríven milyen sorrendben helyezkedik el a C és D pont. Így a háromszög PQ magasságegyenese is merőleges a szemközti AB oldalra.
Az, hogy a C és D pontok az AB szakasz fölé rajzolt egyik félkörre illeszkednek, nem csak Thalész tétel alkalmazását sugallja, azt is biztosítja, hogy a P és Q metszéspontok biztosan léteznek, és C ≠ D esetben különböznek is egymástól, így valóban létrejön az s=(PQ) egyenes.
Ugyanez a feladat a P-modellen:
Abszolút geometriai összefüggések
Ha a versenyfeladatban kitűzött szerkesztést a P-modellen hajtjuk végre, akkor előfordulhat, hogy a P és Q metszéspontok valamelyike nem jön létre. Ezért kiegészítettük a feladatot azzal, hogy ha pl. az [AD[ és [BC[ félegyenesek nem metszők, akkor a s=PQ egyenes szerepét az a P-re illeszkedő egyenes vegye át, amely eleme az AD és BC egyenesekhez tartozó sugársornak.
Talán meglepőnek tűnik az eredmény: az eredeti feladatban megfogalmazott sejtés - a fenti kiegészítéssel - abszolút geometriai összefüggés.
A sejtés igazolását igényesebb olvasóinkra bízzuk. Ugyancsak annak a belátását is, hogy ugyanez az összefüggés a gömbi geometriában is érvényes, ahol ugyancsak nem használhatjuk Thalész tételét.