Secuencias: raíces de un número complejo
Utilización de listas y del comando Sequence (Secuencia) para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo
Se trata de un ejercicio sencillo, pero hay que tener conocimientos muy básicos sobre números complejos (forma binomial de un número complejo expresada trigonométricamente y cálculo de las raíces n-ésimas de un número complejo).
CONSTRUCCIÓN:
- El punto verde es un punto libre A (el vector verde solo cumple una misión decorativa). Su posición es el afijo del número complejo cuyas raíces n-ésimas se desea calcular. El valor de n viene dado por un deslizador entero llamado n.
- Se calcula el módulo de ese número complejo: R = abs(A); también su argumento: argumento = If[(argA ≤ π) ∧ (argA ≥ 0), argA, 2π + argA]
- Se calcula el módulo de la raíz n-ésima: r = R^(1 / n)
- Las raíces n-ésimas tienen módulo igual a r, pero argumentos variables. Las raíces las calculamos como una lista: listaRaices = Sequence[r (cos((argumento + 2k π) / n) + ί sin((argumento + 2k π) / n)), k, 0, n - 1] (para escribir la unidad imaginaria usamos: Alt+i)
- Si deseamos mostrar el polígono regular determinado por las raíces, escribimos: poligono = Polygon[listaRaices]
- Realizar esta construcción
- Realizar un construcción similar para construir un polígono regular de n lados de radio R centrado en el origen de coordenadas:
- Definir un deslizador de valores enteros de 3 a 30 y llamarlo n (número de lados)
- Definir otro deslizador R con valores de 0.5 a 10 (radio del polígono)
- Con listaVertices = Secuencia[ R cos(k 2pi/n) + i sin(k 2pi/n), k, 0, n-1] obtenemos la lista con los vértices (para escribir la unidad imaginaria i se pulsta Alt+i)
- Polígono[listaVertices]
- Realizar la misma construcción usando el comando Zip
- El archivo http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=23902 muestra una situación casi igual, pero partiendo de una circunferencia dada. El archivo es una de las soluciones que se ofrecieron en los foros de Geogebra a una duda concreta planteada por un usuario: http://www.geogebra.org/forum/viewtopic.php?f=62&t=35152
Carlos Fleitas, febrero de 2014