Traiettoria su arco di circonferenza
Studiamo il caso di una traiettoria su un arco di circonferenza di centro C e raggio R con inizio nel punto A sull'asse y () e fine nel punto B sull'asse x ().
Consideriamo un corpo di massa m che si muove lungo questa traiettoria sottoposto alla sola azione della forza peso.
Supponiamo, senza perdita di generalità, che il punto B della circonferenza abbia come tangente l'asse x. Supponiamo inoltre che tutta la massa del sistema sia concentrata nel corpo di massa m.
In tal modo il problema si riconduce alla "teoria del pendolo semplice".
Ovviamente il corpo, a causa della traiettoria, si può solo muovere lungo l'arco di circonferenza e si ha a che fare con un moto circolare con accelerazione variabie.
Il corpo e' soggetto a due accelerazioni, una tangenziale alla circonferenza ed una centripeta diretta verso il suo centro.
Detta la componente tangenziale dell'accelerazione e l'angolo che individua la posizione di m al tempo t, risulta:
.
Si ha poi, detto s l'arco di traiettoria individuato dall'angolo ,
dalla quale si ottiene, derivando
.
Euguagliando le due espressioni di si ottiene:
cioè
.
Non è possibile trovare una soluzione semplice di questa equazione differenziale nei termini di una funzione elementare (la sua risoluzione porterebbe ad un integrale ellittico di prima specie risolvibile eventualmente con sviluppo in serie).
Considerando piccoli valori dell'angolo possiamo approssimare
con .
In tal modo l'equazione differenziale si semplifica in
che è facilmente risolvibile ed ha soluzione:
.
Ricaviamo ora le equazioni del moto considerando la generica equazione di una circonferenza di Centro e raggio R:
,
esprimibile anche in forma parametrica (usando il parametro angolare calcolato a partire da CB in direzione antioraria):
Detti (angolo negativo) e rispettivamente gli angoli che individuano i punti e si ha
dalla quale
.
E' possibile infine calcolare la velocità ed accelerazione tangenziale di m:
.
Supponiamo, senza perdita di generalità, che il punto B della circonferenza abbia come tangente l'asse x. Supponiamo inoltre che tutta la massa del sistema sia concentrata nel corpo di massa m.
In tal modo il problema si riconduce alla "teoria del pendolo semplice".
Ovviamente il corpo, a causa della traiettoria, si può solo muovere lungo l'arco di circonferenza e si ha a che fare con un moto circolare con accelerazione variabie.
Il corpo e' soggetto a due accelerazioni, una tangenziale alla circonferenza ed una centripeta diretta verso il suo centro.
Detta la componente tangenziale dell'accelerazione e l'angolo che individua la posizione di m al tempo t, risulta:
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Si ha poi, detto s l'arco di traiettoria individuato dall'angolo ,
dalla quale si ottiene, derivando
.
Euguagliando le due espressioni di si ottiene:
cioè
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Non è possibile trovare una soluzione semplice di questa equazione differenziale nei termini di una funzione elementare (la sua risoluzione porterebbe ad un integrale ellittico di prima specie risolvibile eventualmente con sviluppo in serie).
Considerando piccoli valori dell'angolo possiamo approssimare
con .
In tal modo l'equazione differenziale si semplifica in
che è facilmente risolvibile ed ha soluzione:
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Ricaviamo ora le equazioni del moto considerando la generica equazione di una circonferenza di Centro e raggio R:
,
esprimibile anche in forma parametrica (usando il parametro angolare calcolato a partire da CB in direzione antioraria):
Detti (angolo negativo) e rispettivamente gli angoli che individuano i punti e si ha
dalla quale
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E' possibile infine calcolare la velocità ed accelerazione tangenziale di m:
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