Esempi di ellissi non riferite agli assi
Partendo dalle definizioni di base dell'ellisse e dal caso più semplice, analizzato al paragrafo precedente (vedi qui), ora cerchiamo di studiare dei casi un po' più generali. Iniziamo da un esempio relativamente semplice, quello di un'ellisse ottenuta traslando un'ellisse riferita agli assi.
UN ESEMPIO DI TRASLAZIONE: UN'ELLISSE TRASLATA RISPETTO ALL'ORIGINE
In questo caso l'ellisse avrà sempre gli assi paralleli agli assi cartesiani, ma il suo centro NON sarà l'origine del sistema. In altre parole l'ellisse sarà traslata rispetto ad un'ellisse riferita agli assi. Utilizzeremo quello che sappiamo sui cambi di riferimento degli assi cartesiani, ed in particolare sulla traslazione di un sistema traslato rispetto all'originale: puoi ripassare questo argomento a questa pagina.
Consideriamo un'ellisse con le seguenti caratteristiche:
- Il suo asse maggiore ha per estremi i punti e
- La sua semidistanza focale è pari a 3
Se vogliamo l'equazione dell'ellisse nel sistema originale, e non quello rosso "primato" che abbiamo costruito ad hoc, sarà sufficiente ricordare la relazione tra le coordinate nei due sistemi. Tale relazione, per due sistemi di riferimento uno traslato rispetto all'altro, è
Nel nostro caso il centro di traslazione è , quindi e ...
Possiamo ricavare le coordinate primate...
e finalmente sostituirle nell'equazione dell'ellisse che avevamo ottenuto
Questa può già essere considerata l'equazione dell'ellisse nel sistema di riferimento originale.
Se vogliamo capirla meglio possiamo svolgere i conti: innanzitutto i quadrati di binomio...
Poi facciamo il denominatore comune, che vale (cioè , dato che i due numeri sono primi tra loro...)
Eliminando i denominatori, ordinando per potenze decrescenti e sommando i termini simili...
Come si vede, l'equazione generica di un'ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani è molto simile a quella di una circonferenza, ma i coefficienti di e NON sono uguali tra loro, a conferma del fatto che la forma dell'ellisse non è uguale lungo le e lungo le .
ELLISSE RUOTATA RISPETTO AGLI ASSI
Vediamo ora un esempio più complesso, ma che ci permette, combinato con il precedente, di studiare praticamente qualsiasi ellisse nel piano. Nella animazione successiva vediamo come calcolare l'equazione di un'ellisse ruotata rispetto al sistema di riferimento (se hai bisogno di ripassare le equazioni di trasformazione per una rotazione, puoi farlo a questa pagina).